Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Формулы сложения вероятностей



Как мы уже покали, если A 1 и A2 - несовместные события, то

P (A 1U A 2) = P (A 1) + P (A 2)

Если A 1 и A 2 — совместные события, то A 1U A 2 =(A 1\ A 2)U A 2, причем очевидно, что A 1\ A 2 и A 2 — несовместные события. Отсюда следует:

P (A 1U A 2) = P (A1\ A 2) + P (A2) (*)

Далее очевидно: A1 = (A1\ A 2)U(A 1A 2), причем A1\ A 2 и A 1A 2- несовместные события, откуда следует: P (A 1) = P (A1\ A 2) + P (A 1A 2) Найдем из этой формулы выражение для P (A1\ A 2) и подставим его в правую часть формулы (*). В результате получим формулу сложения вероятностей:

P (A 1U A 2) = P (A 1) + P (A 2) – P (A 1A 2) (общий вид формулы сложения вероятностей)

Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, положив A 1A 2= Æ.

При м е р 1. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 3 сектора.

Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй - 0,3.

Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

Реш е н и е. События А " попадание в первый сектор" и В - "попадание

во второй сектор" несовместны (попадание в один сектор исключает

попадание во второй), поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий. В соответствии с этой теоремой находим искомую вероятность:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,4 + 0,3 = 0,7.

П р и м е р 2. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена

0,85, а для второго - 0,8. Спортсмены независимо друг от друга

сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень

попадет хотя бы один спортсмен?

Решение. Введем обозначения: события А. - "попадание первого

спортсмена", В - "попадание второго спортсмена", С - "попадание хотя

бы одного из спортсменов". Очевидно, А + В = С, причем события А и В

совместны. В соответствии с общей формулой сложения вероятностей получаем

Р(С) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ), а поскольку А и В независимы

Р(С) = Р(А)+ Р(В)-Р(А)Р(В),

Подставив данные значения Р(А) = 0,85, Р(В) = 0,8 в формулу

для Р(С), найдем искомую вероятность Р(С) = (0,85 + 0,8) - 0,85·0,8 = 0,97.

Замечание. Следует помнить, что при использовании теоремы сложения вероятностей нужно проверять несовместность событий, а при использовании теоремы умножения независимость событий.

Пусть пространство элементарных событий W разбивается на непересекающиеся события (события, не имеющие общих исходов), их вероятности можно вычислить. Кроме того, можно вычислить условную вероятность некоторых событий, при условии, что произошло событие из указанной группы. В этом случае оказывается удобным использовать формулу полной вероятности и следующую из нее формулу Байеса.





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 741 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...