Формулы сложения вероятностей

Как мы уже покали, если A ₁ и A₂ - несовместные события, то

P (A ₁U A ₂) = P (A ₁) + P (A ₂)

Если A ₁ и A ₂ — совместные события, то A ₁U A ₂ =(A ₁\ A ₂)U A ₂, причем очевидно, что A ₁\ A ₂ и A ₂ — несовместные события. Отсюда следует:

P (A ₁U A ₂) = P (A₁\ A ₂) + P (A₂) (*)

Далее очевидно: A₁ = (A₁\ A ₂)U(A ₁∩ A ₂), причем A₁\ A ₂ и A ₁∩ A ₂- несовместные события, откуда следует: P (A ₁) = P (A₁\ A ₂) + P (A ₁∩ A ₂) Найдем из этой формулы выражение для P (A₁\ A ₂) и подставим его в правую часть формулы (*). В результате получим формулу сложения вероятностей:

P (A ₁U A ₂) = P (A ₁) + P (A ₂) – P (A ₁∩ A ₂) (общий вид формулы сложения вероятностей)

Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, положив A ₁∩ A ₂= Æ.

При м е р 1. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 3 сектора.

Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй - 0,3.

Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

Реш е н и е. События А " попадание в первый сектор" и В - "попадание

во второй сектор" несовместны (попадание в один сектор исключает

попадание во второй), поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий. В соответствии с этой теоремой находим искомую вероятность:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,4 + 0,3 = 0,7.

П р и м е р 2. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена

0,85, а для второго - 0,8. Спортсмены независимо друг от друга

сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень

попадет хотя бы один спортсмен?

Решение. Введем обозначения: события А. - "попадание первого

спортсмена", В - "попадание второго спортсмена", С - "попадание хотя

бы одного из спортсменов". Очевидно, А + В = С, причем события А и В

совместны. В соответствии с общей формулой сложения вероятностей получаем

Р(С) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ), а поскольку А и В независимы

Р(С) = Р(А)+ Р(В)-Р(А)Р(В),

Подставив данные значения Р(А) = 0,85, Р(В) = 0,8 в формулу

для Р(С), найдем искомую вероятность Р(С) = (0,85 + 0,8) - 0,85·0,8 = 0,97.

Замечание. Следует помнить, что при использовании теоремы сложения вероятностей нужно проверять несовместность событий, а при использовании теоремы умножения независимость событий.

Пусть пространство элементарных событий W разбивается на непересекающиеся события (события, не имеющие общих исходов), их вероятности можно вычислить. Кроме того, можно вычислить условную вероятность некоторых событий, при условии, что произошло событие из указанной группы. В этом случае оказывается удобным использовать формулу полной вероятности и следующую из нее формулу Байеса.