Формула Байеса. Пусть H1,H2,,Hn - полная группа событий и АÌW - некоторое событие

Пусть H ₁, H ₂,..., H_n - полная группа событий и А ÌW - некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности

Здесь P (H_k / A) - условная вероятность события (гипотезы) H_k или вероятность того, что H_k реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы можно представить в виде

P (H_k ∩ A) = P (A ∩ H_k) = P (A / H_k) P (H_k)

Для представления знаменателя формулы можно использовать формулу полной вероятности

P (A)

Теперь можно получить формулу, называемую формулой Байеса:

Замечание. По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы H_k при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез.

Замечание. Вероятности P(H_k) (k=I,2,..., n) событий H₁,H₂,...,H_n

до опыта называются априорными вероятностями (от латинского a priori, что означает "сперва", Т.е. в данном случае до того, как был произведен опыт). ' Вероятности P(H_k) (k = 1,2,..., n) тех же событий называются апостериорными (от латинского слова а posteriori, что означает "после", Т.е. в данном случае после опыта).

Пример 1.Рассмотрим приведенную выше задачу об учебниках, только изменим вопрос задачи. Пусть библиотекарь получил на складе учебник, и он оказался бракованным. Найти вероятность того, что этот учебник был напечатан во второй типографии.

Выпишем формулу Байеса для этого случая

Из этой формулы получаем: P (H ₂ / A) = 15/34

.