Условные вероятности

Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученный билет?

Определим пространство элементарных исходов: W=(1,2,3,...,28,29,30). Пусть событие А заключается в том, чтостудент вытащил выученный билет: А = (1,...,5,25,...,30,), а событие В — в том, что студент вытащил билет из первых двадцати: В = (1,2,3,...,20)

Событие А ∩ В состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 - это вероятность события B. Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В произошло (обозначим её Р (А / В)). Таким образом решение задачи определяется формулой

P (А ∩ В) = Р (А / В) Р (B)

Эта формула называется формулой умножения вероятностей, а вероятность Р (А / В) — условной вероятностью события A.

Итак, определение. Вероятность события А, при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью и обозначается Р(А|В).

Определим условные вероятности Р(А|В) для схемы, когда все исходы равновозможны. Событие В произошло, поэтому мы можем рассматривать только те исходы, которые составляют В. Соответственно, у нас образуется новое пространство элементарных событий Ω*, совпадающее с событием (множеством) В. Нас интересуют те исходы, которые входят и в А и в В, и образуют область А ∩ В. Теперь рассмотрим условную вероятность А|В с точки зрения классического определения.

Р(А|В) равна отношению числа исходов в области А∩В к общему числу исходов в новом пространстве элементарных событий Ω*, то есть отношению

Р(А | В) =

Замечание. Таким образом, условная вероятность – это «обычная» вероятность, но определенная на суженном пространстве элементарных событий. В силу этого для нее сохраняются все свойства ранее определенной вероятности.

Пример.1 Из шляпы, в которой сидят 7 белых и 3 черных кроликов, наудачу один за другим извлекают (без возвращения) двух кроликов. Какова вероятность того, что первый зверь будет белым, а второй черным?

Пусть X — событие, состоящее в извлечении первым белого кролика, а Y — событие, состоящее в извлечении вторым черного кролика. Тогда X ∩ Y - событие, заключающееся в том, что первый кролик будет белым, а второй — черным. P (Y / X) =3/9 =1/3 — условная вероятность извлечения вторым черного кролика, если первым был извлечен белый (после излечения первым белого кролика в шляпе осталось 9 кроликов – новое Ω*, из которых белых – теперь 6, а черных по-прежнему 3).Учитывая, что P (X) = 7/10, по формуле умножения вероятностей получаем: P (X ∩ Y) = 7/30

Определение. События А и В называются независимыми, если Р (А / В)= Р (А). Иначе говоря, то, что событие В имело место никак не повлияло на вероятность события А

Замечание. За определение независимых событий можно принять следствие последней формулы и формулы умножения

P (А ∩ В) = Р (А) Р (B)

Пример 2. Рассмотрим задачу, аналогичную предыдущей, но с одним дополнительным условием: вытащив первого кролика, запоминаем его цвет и возвращаем зверя в шляпу, после чего даем кроликам поперемещаться. В данном случае результат второго извлечения никак не зависит от того, какой кролик - черный или белый появился при первом извлечении. Вероятность появления первым белого кролика (событие А) равна 7/10. Вероятность события В - появления вторым черного кроля - равна 3/10. Теперь формула умножения вероятностей дает: P (А ∩ В) = 21/100.

Извлечение шаров (кроликов) способом, описанным в этом примере, называется выборкой с возвращением или возвратной выборкой.

Замечание (о связи между совместными и зависимыми событиями). Между понятиями „ несовместные " и „ независимые " события имеется следующая связь:

1) если А и В — несовместные события (и Р(А) ≠0, и P(В) ≠ 0), то они обязательно зависимые;

2) если А и В — совместные события, то они могут быть

и зависимыми, и независимыми;

3) если А и В — зависимые события, то они могут быть

и совместными, и несовместными.

Замечание. Понятие независимости является очень важным в теории вероятностей. При этом следует различать формальное понятие независимости событий, определяемое свойствами вероятностной модели, и понятие независимости событий, возникающее в прикладных задачах и означающее, что события не связаны причинно. При корректном построении вероятностной модели второе трансформируется в первое, но это может быть не всегда.