Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Если каждой упорядоченной паре чисел (x, y) из некоторой области D (x, y) соответствует единственное число Z, то Z называют функцией двух переменных x и y, x и y – независимые переменные или аргументы, D – область определения функции Z, пишут .
Определение: Число B называют пределом функции в точке , если для любого существует , такое, что при всех x и y, удовлетворяющих условиям и , справедливо неравенство . Пишут .
Определение: Частной производной по переменной x функции называют предел отношения: , a по переменной y – ; где ,
. Обозначают , , , .
Задача. Для функции найти частные производные функции.
;
.
Частные производные второго порядка функции имеют вид:
;
;
;
.
Задача. Найти частные производные второго порядка функции .
Решение: .
,
очевидно, что = .
Теорема (необходимое условие экстремума): Если точка является точкой экстремума функции , то или хотя бы одна из них не существует. Точки, для которых это условие выполняется, называются стационарными.
Теорема (достаточное условие экстремума): Пусть имеет непрерывные частные производные до третьего порядка в области, содержащей стационарную точку . Тогда:
1) если , то – является точкой экстремума, причем если А < 0 (С < 0), то – точка максимума, если А > 0 (С > 0), то – точка минимума;
2) если , то в точке нет экстремума;
3) если , то экстремум может быть, а может и не быть. Необходимо дополнительно исследовать функцию.
Где , , , в точке .
Задача. Исследовать функцию на экстремум.
1) Найдем стационарные точки , . Пользуясь необходимыми условиями экстремума, найдем стационарные точки:
,
откуда .
2) Исследуем точки и , для этого составим
, , , . , так как , то в точке нет экстремума. , так как и А > 0, то точка – точка минимума. , (А = 6 > 0).
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 240 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!