![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Если каждой упорядоченной паре чисел (x, y) из некоторой области D (x, y) соответствует единственное число Z, то Z называют функцией двух переменных x и y, x и y – независимые переменные или аргументы, D – область определения функции Z, пишут .
Определение: Число B называют пределом функции в точке
, если для любого
существует
, такое, что при всех x и y, удовлетворяющих условиям
и
, справедливо неравенство
. Пишут
.
Определение: Частной производной по переменной x функции называют предел отношения:
, a по переменной y –
; где
,
. Обозначают
,
,
,
.
Задача. Для функции найти частные производные функции.
;
.
Частные производные второго порядка функции имеют вид:
;
;
;
.
Задача. Найти частные производные второго порядка функции .
Решение: .
,
очевидно, что =
.
Теорема (необходимое условие экстремума): Если точка является точкой экстремума функции
, то
или хотя бы одна из них не существует. Точки, для которых это условие выполняется, называются стационарными.
Теорема (достаточное условие экстремума): Пусть имеет непрерывные частные производные до третьего порядка в области, содержащей стационарную точку
. Тогда:
1) если , то
– является точкой экстремума, причем если А < 0 (С < 0), то
– точка максимума, если А > 0 (С > 0), то
– точка минимума;
2) если , то в точке
нет экстремума;
3) если , то экстремум может быть, а может и не быть. Необходимо дополнительно исследовать функцию.
Где ,
,
,
в точке
.
Задача. Исследовать функцию на экстремум.
1) Найдем стационарные точки ,
. Пользуясь необходимыми условиями экстремума, найдем стационарные точки:
,
откуда .
2) Исследуем точки и
, для этого составим
,
,
,
.
, так как
, то в точке
нет экстремума.
, так как
и А > 0, то точка
– точка минимума.
, (А = 6 > 0).
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 255 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!