![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Признаки возрастания функции (убывания функции)
• Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на некотором отрезке
, то производная на этом отрезке неотрицательна (неположительна), т. е.
.
• Если непрерывная функция дифференцируема и имеет положительную (отрицательную) производную на отрезке
, то она возрастает (убывает) на этом отрезке.
Определение: Точки, в которых производная первого порядка обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.
Теорема (необходимый признак локального экстремума): Если функция имеет в точке
экстремум, то
либо
не существует.
Теорема (первый достаточный признак локального экстремума): Пусть является непрерывной на
, причем
– критическая точка, функция является дифференцируемой во всех точках
(кроме, может быть, самой
), тогда: если
для всех
и
для всех
, то в точке
функция
имеет максимум. Если
для всех
и
для всех
, то в точке
функция имеет минимум.
Теорема (второй достаточный признак экстремума): Пусть функция дважды дифференцируема и
– критическая точка, тогда если
, то
– точка минимума; если
, то
– точка максимума функции.
Теорема (достаточное условие выпуклости графика функции): Если во всех точках интервала производная второго порядка функции
отрицательна (положительна), т. е.
(
), то кривая выпукла вверх (вниз) на этом интервале.
Теорема (достаточный признак точки перегиба): Если в точке
или
не существует и при переходе через эту точку производная
меняет знак, то
является точкой перегиба.
Определение: Прямая называется асимптотой данной кривой , если расстояние от точки М кривой до прямой, при удалении точки М в бесконечность, стремится к нулю.
Если , то
– вертикальная асимптота.
Если существуют пределы: и
, то прямая
– наклонная асимптота графика функции. Если k = 0, y = b – горизонтальная асимптота.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 200 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!