![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение: Последовательностью называется функция натурального аргумента ,
,
,…,
,…,
,…. Причем если
, то
следует за
, независимо от того, больше он его или меньше.
Последовательность чисел называется сходящейся к числу , если для любого положительного, сколь угодно малого числа
(эпсилон) найдется такой номер
, что для всех номеров
будет выполняться неравенство
. Пишут
.
Геометрический смысл предела последовательности состоит в том, что за пределами – окрестности точки
находится лишь конечное число членов последовательности
, а внутри этой окрестности находится бесконечное множество членов последовательности и при
число
будет сгустком точек, соответствующих членам последовательности.
Определение: Число называется пределом функции
в точке
, если для любого
сколь угодно малого положительного числа
найдется
положительное число
(дельта), что для всех
, удовлетворяющих неравенству
, выполнится неравенство
.
Пишут .
Теоремы о пределах функций: если существует и
, то
1) ;
2) ;
3) ;
4) при
.
При вычислении пределов используются два замечательных предела:
1) (первый замечательный предел);
2) (второй замечательный предел).
Определение: Функция называется бесконечно малой в точке
, если
.
Определение: Функция называется бесконечно большой в точке
, если
.
Теорема: Если – бесконечно большая функция, то
– бесконечно малая функция. Если
– бесконечно малая и
– бесконечно малая функция в точке
и
, то
и
эквивалентны. Пишут
~
.
Примеры. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
а) . Разделим числитель и знаменатель на высшую степень х, т. е. на
,
;
б) . Выделим в знаменателе дроби критический множитель
:
;
в)
;
г)
= .
Определение: Функция называется непрерывной в точке
, если существует предел функции в точке
, равный значению функции в точке
, т. е.
.
Иными словами, функция непрерывна в точке , если выполняются равенства:
(*)
Односторонние пределы функции в точке равны значению функции в точке
.
Определение: Точка называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные, но неравные односторонние пределы функции в точке
. Разность между правым и левым пределами называется скачком.
Определение: Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен
или не существует.
Определение: Точка называется точкой разрыва устранимого, если существует предел функции в этой точке, не равный значению функции в точке
.
Пример. Исследовать функцию на непрерывность и построить график:
.
Решение: Функция является непрерывной на каждом из промежутков, поэтому подозрительными на разрыв являются точки
и
. Исследуем каждую точку.
1) . Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции
при
,
значение функции в точке равно:
. Следовательно, в точке
функция является непрерывной, так как
.
2)
.
Так как односторонние пределы конечны, но не равны, то точка является точкой разрыва первого рода.
Скачок равен .
Определение: Пусть функция задана на некотором множестве
. Зафиксируем значение аргумента
и придадим ему приращение
, не выводящее значение аргумента за пределы множества
, т. е.
. Тогда соответствующее приращение
получит и сама функция, которое равно разности нового и старого значений функции:
. Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при
, то он называется производной функции в точке
. Пишут
, или
. (6)
Если существует во всех точках множества
, то
является функцией от
.
Таблица производных основных элементарных функций
Если является дифференцируемой, то выполняются равенства:
1. где
2. где
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17. .
Основные правила дифференцирования:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. Если и
, т. е.
, то
, где и и φ – дифференцируемы.
8. Если для функции существует обратная дифференцируемая функция
, то
.
Задача. Найти производную функции
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Решение:
1)
поэтому по формуле (8) (см. таблицу производных)
.
2)
3)
.
4)
Определение: Производной второго порядка функции называется производная от первой производной, т. е.
. Обозначают
.
Определение: Производной n -го порядка функции называют производную от производной (n – 1)-го порядка данной функции. Обозначают
.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 413 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!