Статистической гипотезы

Имеется выборка

- экспоненциальная случайная величина.

Значения параметра определяется по выборке, тогда теоретическая функция принимает значение . Выбрать конкретную функцию и задать значение параметров, тем самым задать статистическую гипотезу. Нужно оценить точность гипотезы, поскольку F* - случайный объект. Нужно оценить степень соответствующей функции * - имеющихся эмпирических данных. Этим действием проверяется статистическая гипотеза.

1)Первый этап. Этап проверки включает формирование меры различия имперической функции от выбранной теоретической функции. Меры различия принято называть расстоянием меду функциями (1). D(F*,F) – значение.-

Правило. Аргументами являются теоретическая и эмпирическая функции, в результате получаем число. Если нас интересует правило то это правая часть выражения (1). Если смотреть на правую часть: речь идет о каком-то правиле – функции. Оно действует на F* и F в результате получаем число (значение) – расстояние между двумя функциями.

Обосновываем значения правила. Правило D называют критерием проверки гипотез (критерий – оценивается мера различий)

2)Выбор критических значений, критерия и формирования условия принятия и отклонения гипотезы. Выбор критических значений основывается на:

1. При фиксированном правиле D, полученное значение критерия следует рассматривать как реализацию случайной величины. Строим гистограмму.

** F,F* D

Рис.1.

Величину выбираем из таких соображений, что если гипотеза верна, то практически все значения расстояния рассчитаны по правилу (1) попадают в область .

, где D - длина интервала.

Если значит, что нужно использовать половину отрезка, практически все значения показывают, что P доверительное должно быть достаточно большим .

С доверительной вероятностью , если выполняется условие . (а) практически все значения попадают в интервал, если гипотеза выполняется (а) – условие принятия гипотезы. Принимаю решение по условию (а), можем совершить ошибку. Возможные значения критерия попадают в интервал и в опыте может произойти, что значение критерия попадет в заштрихованную область.

- ошибка первого рода.

Эта вероятность того, что мы отклоним верную гипотезу, в то время когда она верна. И - не верна.

Если (а) нарушаем, то гипотезу отклоняем.

В случае когда ситуация определяется гипотезой, ни одной, а с несколькими конкурирующими гипотезами (альтернативными) выбирая выбрали закон.

может быть больше 0,7 и меньше.

Рассмотрим когда есть основная и альтернативная гипотеза. Чтобы оценить влияние альтернативной гипотезы на принятия основной, построим график условной плотности распределения, если верна альтернативная гипотеза .

Рис. 1. Из рис.1. видно, что существует область значений расстояний (* *), при верной гипотезы , которые соответствуют условии принятию основной гипотезы . Они попадают в область , а поскольку решение принимается по правилу (а), то в этом случае верна основная гипотеза. Мы совершили ошибку принимая такое решение (поскольку значение расстояние рассчитывалось в условиях вероятности альтернативной гипотезы) такую ошибку называют ошибкой 2 рода – это вероятность () того, что мы примем в качестве верной гипотезы, когда на самом деле верна гипотеза H. Ошибки порождаются достаточно редкими событиями, но в силу высокой стоимостью задач их стоит учитывать. Связь между ошибками 1 и 2 рода. Чтобы уменьшить ошибку , нужно увеличить и при этом увеличивается ошибка 2 рода. Величина ошибок зависит от выбора критериев правилу. Одновременное уменьшать ошибку нельзя. Вводится понятие мощности . При заданной величине ошибки критерия 1 рода. Выбирают критерий с максимальной мощностью. Критические значения называют критическими значениями критерия.