Уточнение теоремы Чебышева

Пусть имеется последовательность независимых, неодинаковых случайных величин, тогда вероятность того, что модуль отклонения среднеарифметического значения от среднеарифметического значения мат. ожиданий.

Теорема Бернулли

Используем схему последовательных испытаний ν(А) – P(A)

ν(А) = n(A)/n

Сформулируем теорему Чебышева: пусть имеется последовательность независимых, неодинаковых случайных величин x₁,x₂,…,x_n, и случайные величины имеют одинаковое мат. ожидание и дисперсию, которая превышает некоторое число ξ, тогда вероятность такого события

Доказательство: используя неравенство Чебышева можем записать

Вероятность того, что модуль отклонения среднего значения от значения мат. ожидания будет меньше ξ.

Подставим M[x] в выражение и получим:

Выбираем достаточно большое n→∞