Центральные моменты

Необходимо ввести понятие центральной случайной величины. Таковой будем называть следующую случайную величину:

X = X – M[X];

где X – центр случайной величины,

M[X] – мат. ожидание.

Это величина приведенная к центру, она рассчитана относительно центра.

К-й центральный момент случайной величины х по определению можно определить: _{0 n}

α_к = M[ X^k] = ∑ x_i^k p(x_i)

₀ ⁱ⁼¹

x_{i =} x_i - M[X]

Перепишем в следующем виде:

_{0 n n}

α_к = M[ X^k] = ∑ x_i^k p(x_i) = ∑ (x_i – m_x)^k p(x_i)

^{i=1 i=1}

В первом случае к менялось. Необходимо получить простой образ этого числа. Рассматриваем методологию, ведущую к упрощению.

_n

Если к = 1, то ∑ (x_i – m_x)¹ p(x_i) = 0.

ⁱ⁼¹

Если сумму представить как разность двух сумм, то получим два мат. ожидания с разными числами, и его можно будет вынести за скобку.

Если к = 2, то скобка не равна нулю.

_n

α₂ = D[X]= ∑ (x_i – m_x)² p(x_i)

ⁱ⁼¹

p(x_i) – признак усреднения, вес

Второй центральный момент и называется дисперсией случайной величины. Смысл: нужно представить, что каждая реализация x_i сравнивается с центром математического ожидания. Это сравнение называют ожиданием.

x_i M[X]

Дисперсия случайной величины характеризует среднее расстояние реализации случайной величины от своего центра (мат. ожидания). Две моментные характеристики, которые получили наибольшее распространение это: мат. ожидание и дисперсия, выступающая в качестве разброса реализации от своего центра.