Условные вероятности. независимость событий

Условная вероятность Р (В / А) = Р_A (В)  это вероятность осуществления события В при условии, что событие А уже произошло (причем последнее не является невозможным, т.е. Р (А) > 0).

Эту вероятность можно вычислить по формуле

Для краткости эта величина называется “вероятностью события В при условии А”. Заметим, что для величины Р (В / А) выполняются аксиомы I, II, III, и, следовательно, простейшие свойства (см. §6).

Обозначим через Х число очков, выпавших при одном бросании игральной кости. Пусть А = {Х - простое число}, В = {Х - четное число}. Тогда Р (А) = 3/6 = 1/2 (числа 2, 3, 5  простые, 1, 4, 6  нет), Р (В) = 3/6 = 1/2, Р (А · В) = 1/6 (простое и четное одновременно число только одно  это 2). Следовательно, Р (В / А) = 1/3, т.е. вероятность того, что выпало четное число очков при условии, что выпало простое число очков, равна 1/3 (среди 3 простых чисел четное одно); Р (А/В) = 1/3, т.е. вероятность того, что выпало простое число очков при условии, что выпало четное число очков, также равна 1/3 (среди 3 четных чисел простое  одно).

События А и В называют независимыми, если

Р (А · В) = Р (А) · Р (В).

Если одно из событий невозможное (Æ), то в обеих частях стоят нули. Если же Р (А) > 0 и Р (В) > 0, то Р (А / В) = Р (А), Р (В / А) = Р (В).

Для последнего примера Р (А · В) Р (А) · Р (В), значит, А и В зависимые. Во многих задачах независимость событий задается по условию задачи (из общих соображений).