Понятие несобственного интеграла

Несобственным интегралом от функции на полуинтервале называется предел функции при , стремящемся к , т.е.

Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся. Работая с несобственными интегралами, обычно выделяют две задачи:

- исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;

- вычисление значения интеграла в случае, если он является сходящимся.

Пример 6.4. Вычислить

Решение. По определению

Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, используем формулу Ньютона – Лейбница:

Тогда

Таким образом, искомый несобственный интеграл сходится к 1.

Если рассматривать несобственный интеграл на интервале , то его можно представить как сумму двух интегралов, т.е.

Если интегралы, входящие в правую часть равенства, сходятся, то рассматриваемый интеграл называется сходящимся, а если хотя бы один из интегралов правой части расходится, то – расходящимся.

Пример 6.5. Вычислить

Представим интеграл в виде суммы двух интегралов и исследуем их на сходимость, полагая .

т.е. первый интеграл сходится к 1.

т.е. второй интеграл расходится, а, следовательно, расходящимся будет и несобственный интеграл

Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость):

6.34. 6.35.

6.36. 6.37.

6.38. 6.39.

6.40. 6.41.

6.42. 6.43.

6.44. 6.45.

6.46. 6.47.

6.48. 6.49.