Геометрические приложения определённого интеграла

Площадь фигуры (рис.1) , равна

.

Площадь фигуры (рис.2) , равна

.

Рис.1 Рис.2

Если фигура (рис.3) ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями , , прямыми , и осью , то её площадь равна , где и определяются из уравнений , ( на отрезке ).

Площадь криволинейного сектора (рис.4) , , где - полярные координаты, равна .

Рис.3 Рис.4

Длина дуги плоской кривой , равна

.

Длина дуги плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями

, , , равна .

Длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями , , , , равна:

.

Длина дуги плоской кривой, заданной в полярных координатах уравнением , , равна .

Если - площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси , в точке с аппликатой , то объём этого тела равен , где и - аппликаты крайних сечений тела.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси плоской фигуры (рис.5) , равен .

Объём тела, образованного вращением вокруг оси плоской фигуры (рис.6) , , равен .

Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры (рис.7) , , равен .

Рис.5 Рис.6 Рис.7