Свойства. Пусть K — выпуклое множество

Пусть K — выпуклое множество. Тогда для любых элементов принадлежащих K и для всех неотрицательных s , таких что , вектор

принадлежит S.

· Вектор w называется выпуклой комбинацией элементов .

• Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством, таким образом выпуклые подмножества образуют полную сетку. Это так же означает и то, что любое подмножество A линейного пространства содержится внутри малого выпуклого множества (называемого выпуклой оболочкой множества A), то есть пересечение всех выпуклых множеств содержит A.
• Замкнутые выпуклые множества могут быть определены как пересечения замкнутых полупространств (множества точек в пространстве, которые лежат только на одной части гиперплоскости). Из выше сказанного становится понятным, что такие пересечения являются выпуклыми и замкнутыми множествами.

Теорема Хелли: Предположим в конечном семействе выпуклых подмножеств , пересечение любых d + 1 из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.