Операции над множествами. Объединениеммножеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В

Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Обозначается С = А È В.

А

В

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Венна.

Свойства объединения множеств:

1. A È B = B È A;

2. (A È B) È C = A È (B È C);

3. если А то АÈВ = В

4. АÈА=А

5. АÈÆ=А

Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.

Обозначение С = А Ç В.

А С В

Для пересечения множеств А, В справедливы следующие свойства:

1. A Ç B = B Ç A;

2. (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C);

3. если А ,то A Ç B= А

4. А Ç А = А

5. A Ç Æ = Æ;

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C); A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C);

A È (A Ç B) = A; A Ç (A È B) = A;

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Обозначается С = А \ В.

А В

Свойства разности множеств:

1. A \ (A \ B) = A Ç B;

2. A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C);

3. A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C);

Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В.

Обозначается А D В.

А D В = (A \ B) È (B \ A)

A B

С_Е называется дополнением множества А относительно множества Е, если А Í Е и C_Е = Е \ A.

A E

Для множеств А, В и С справедливы также следующие соотношения:

(A È B) \ C = (A \ C) È (B \ C); (A Ç B) \ C = (A \ C) Ç (B \ C);

A \ (B \ C) = (A \ B) È (A Ç C); (A \ B) \ C = A \ (B È C);

A È C_EA = E; A Ç C_EA = Æ; C_EE = Æ; C_EÆ = E; C_EC_EA = A;

C_E(A È B) = C_EA Ç C_EB; C_E(A Ç B) = C_EA È C_EB;

Пример 1. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера - Вейна.

Из записанных выше соотношений видно, что

Æ = A \ В

Что и требовалось доказать.

Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера – Вейна

А В А В

AÇB

Пример 2. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество.

A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C)

Если некоторый элемент х Î А \ (В È С), то это означает, что этот элемент принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.

Множество А \ В представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Множество А \ С предсталяет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству С.

Множество (A \ B) Ç (A \ C) представляет собой множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.

Таким образом, тождество можно считать доказанным.

Пример 3 Даны два множества:

A={1;3;6;8}

B={2,4,6,8}

Найти объединение, пересечение, разность множеств А-В

Решение.

Объединением двух множеств будет АÈ В={1;2;3;4;6;8}

Пересечением АÇ В={6;8}

Разность A\B={1;3}

Задание 1. Найдите среди указанных множеств равные:

А+{1;5}, B={5;1} C={1,5,1} D={1;5}

Обоснуйте ответ А=В

Задание 2. Даны два множества:

A={5;7;10;12}

B={3,7,9,12}

Найти объединение, пересечение, разность множеств А-В