ТЕМА 12. Функция от случайной величины

Основные определения и формулы:

Пусть НСВ Х и Y связаны функциональной зависимостью Y = j(х), где j(х) – дифференцируемая функция, монотонная на всем интервале возможных значений СВ Х. Тогда, если f (x) – плотность СВ Х, а g(y) – плотность СВ Y, то

g(y) = f(y(y))| y’(y)|,

где y(y) – функция, обратная по отношению к j(х).

Если на интервале возможных значений СВ Х обратная функция y(y) неоднозначна, т.е. одному значению у соответствует несколько значений х: y₁(y), y₂(y),…, y_n(y), то плотность СВ Y определяется формулой:

Решение типовых примеров:

Пример 1. СВ Х имеет показательное распределение с параметром а. Найти плотность СВ Y = АХ + В.

Решение:

Рассмотрим функцию j(х) = Ах + В. Это монотонная функция (если А ¹ 0). Чтобы найти обратную функцию y(у), достаточно решить уравнение у = Ах + В относительно х: х = (у – В)/А. Итак, y(у) = (у – В)/А, а y’(у) = 1/А. Плотность СВ Х:

Находим плотность СВ Y:

g(y) = ae^-a(y-B)/A*|A^-1|. при (у–В)/А > 0,

т.е. при y > B. Для остальных у плотность g(y) = 0.

Пример 2. Через точку А(0, l) проведена наудачу прямая. Найти плотность абсциссы точки пересечения этой прямой с осью Ох.

Решение:

Пусть НСВ Y – угол, который прямая, проведенная через точку А, составляет с положительным направлением оси Оу. Проведение этой прямой наугад означает, что СВ Y имеет равномерное распределение в интервале (-p /2; p/2), т.е. ее плотность имеет вид

Если В(Х, 0) – точка пересечения прямой с осью Ох, то Х = l *tgY. Обратной к функции j(y) = l* tg y на интервале (-p /2; p/2) является функция y = arctg (x/ l). Находим плотность Х:

Это так называемое распределение Коши.

Пример 3. НСВ Х имеет нормальное распределение с параметрами m = 0, s = 1. Найти плотность СВ Y = X².

Решение: Функция у = х² – немонотонная на (-¥; +¥) и поэтому ее обратная функция y(у) – неоднозначная: y₁(у) = Öу и y₂(у)= -Öу. Находим плотность СВ Y:

Здесь - плотность СВ Х.

После преобразований получим:

Для отрицательных у плотность равна 0.

ТЕМА 13. Функция от двух случайных величин.

Основные определения и формулы:

Для функции нескольких случайных величин удобнее искать функцию распределения, а плотность определять дифференцированием. Если НСВ Z есть функция от двух случайных аргументов Х и Y: Z = j (X, Y), то ее функция распределения имеет вид:

где f(x,y) – совместная плотность системы случайных величин (X, Y), а двойной интеграл берется по области D(Z) плоскости хОу, для которой j(x,y) < z.

Решение типовых примеров:

Пример 1. Найти функцию распределения СВ Z = Y – X, где X и Y – независимые СВ, причем Х равномерно распределена в интервале (-1; 1), Y – имеет показательное распределение с параметром а = 1.

Решение:

Выпишем плотности СВ Х и Y:

Так как Х и Y – независимы, то совместная плотность системы (X, Y) есть произведение их плотностей:

f(x,y) = 0,5e^-y в полуполосе K = {(x,y): -1 < x< 1, 0 < y < +¥} и f(x,y) = 0 вне К.

Множество возможных значений СВ Z – это интервал (-1; +¥). Поэтому F(Z) = P(Z < z) = 0 при z £ -1. Для вычисления F(z) при других значениях z рассмотрим множество D_z, по которому интегрируется совместная плотность. Это часть полуполосы К, удовлетворяющая условию y – x < z, т.е. часть К, лежащая ниже прямой y = x + z. Форма D_z и пределы интегрирования в повторном интеграле зависят от значения z:

1) При z > 1 D_z = {(x, y): -1 £ x £ 1, 0 £ y £ x + z }

2) При –1 < z £ 1 D_z = {(x, y): -z £ x £ 1, 0 £ y £ x + z }

Пример 2. В прямоугольник К с вершинами (0;0), (а;0), (0;b), (a;b) наудачу ставят точку (X;Y) и опускают из нее перпендикуляры на оси координат. Найти закон распределения площади Т многоугольника, образованного этими перпендикулярами и осями координат.

Решение:

Тот факт, что точка ставится в прямоугольник К наудачу, означает, что система СВ (X;Y) имеет равномерное распределение в К, т.е. ее совместная плотность f(x,y) = C в прямоугольнике К и f(x,y) = 0 вне К, причем С = 1/(a*b). Функциональная зависимость СВ: T = X*Y, т.е. j(x,y) = х*у. Область интегрирования в формуле для функции распределения:

D_t = {(x,y): xy < t}={(x,y): y<t/x}.

Учитывая вид плотности f(x,y), получим:

Здесь G_t – это часть прямоугольника К, лежащая ниже гиперболы y = t/x, а интеграл по области G_t – это не что иное, как ее площадь:

Итак, окончательно функция распределения площади имеет вид:

(это следует из общих свойств функции распределения). Дифференцируя эту функцию, находим плотность:

ТЕМА 14. Закон больших чисел.

Основные определения и формулы:

Если СВ Х неотрицательная и имеет конечное математическое ожидание, то для любого e > 0

(неравенство Чебышева, первая форма).

Если СВ Х имеет конечную дисперсию, то для любого e > 0

(неравенство Чебышева, вторая форма).

Пусть случайные величины Х₁, Х₂, … Х_n, … независимы и имеют конечные дисперсии, причем D(X_n) £ C, n = 1, 2, …. Тогда последовательность СВ Х₁, Х₂, … Х_n, … подчиняется закону больших чисел, т.е. для любого e > 0

(теорема Чебышева)

Решение типовых примеров:

Пример 1. Количество осадков, выпадающих в данной местности в течение года, является случайной величиной Х, причем М(Х) = 55 см. а) Оценить вероятность того, что в этой местности осадков выпадет не более 175 см.; б) Оценить ту же вероятность, если известно, что s(х) = 15 см.

Решение:

а) Так как о дисперсии СВ Х мы ничего не знаем, используем первую форму неравенства Чебышева:

Р(Х > 175) < 55/175 = 0,31

Отсюда получаем оценку снизу для искомой вероятности:

Р(Х £ 175) = 1 – Р(Х > 175) > 1 – 0,31 = 0,69.

б) Информация о дисперсии СВ Х позволяет использовать вторую форму неравенства Чебышева и получить более точную оценку:

P(X > 175) = P(X–55 > 175–55) £ P(|X–M(X)| > 20) < 15²/120² = 0,02.

Отсюда: Р(Х £ 175) > 0,98.

Пример 2. Дана последовательность независимых случайных величин Х₁, Х₂, … Х_n, …, причем СВ Х_n имеет равномерное распределение на интервале (). Подчиняется ли эта последовательность закону больших чисел.

Решение:

Воспользуемся известным фактом: если СВ Z имеет равномерное на интервале (a,b) распределение, то

M(Z) = (a+b)/2, D(Z) = (b–a)²/12.

Таким образом M(X_n) = 0, D(X_n) = ln (n)/3.

Теорему Чебышева применять нельзя, т.к. нет ограниченности дисперсии. Но можно применить неравенство Чебышева к СВ Числовые характеристики:

Неравенство Чебышева:

Так как ln(n) = o(n), то эта вероятность стремится к 0 при увеличении n. Другими словами

т.е. последовательность Х₁, Х₂, … Х_n, … подчиняется закону больших чисел.

ТЕМА 15. Центральная предельная теорема.

Основные определения и формулы:

Пусть случайные величины Х₁, Х₂, … Х_n, … – независимы и одинаково распределены, причем M(X_k) = m, D(X_k) = s². Тогда имеет место центральная предельная теорема (Ц. П. Т.) т.е.

При решении задач используют другую формулировку Ц.П.Т.

Если Х₁, Х₂, … Х_n – независимые, одинаково распределенные СВ, причем M(X_k) = m, D(X_k) = s², то их сумма Y = SX_k при достаточно большом n имеем приближенно нормальное распределение с параметрами mn и sÖn. Другими словами:

где F(х) – функция Лапласа.

Замечание: Интегральная теорема Лапласа есть частный случай Ц.П.Т.

Решение типовых примеров:

Пример 1. Страховая компания застраховала n человек одного возраста сроком на 1 год. Для этого возраста известна вероятность смерти (в течении ближайшего года) и вероятность травмы: 0,00001 и 0,0001 соответственно. Стоимость страховки L$, в случае травмы клиенту выплачивается a$, в случае смерти – A$. Найти вероятность того, что компания получит прибыль не менее Q$.

Решение:

Рассмотрим СВ Х_к – выплаты к -му клиенту, к=1.. n. ее ряд распределения:

Хк		а	А
Р	0,99989	0,0001	0,00001

Найдем ее числовые характеристики:

m = M(X) = 0,0001a + 0,00001A;

s² = D(X) = 0,0001а² + 0,00001А² – m².

Т.к. клиенты умирают и травмируются, вообще говоря, независимо один от другого, то случайные величины Х₁, Х₂, … Х_n – независимые и к ним применима Ц.П.Т.

Суммарные выплаты компании клиентам Y = SX_k имеют приближенно нормальное распределение с параметрами mn и sÖn.

Доходы компании формируются из страховых взносов и составляют Ln$.

Разность Ln – Y – это прибыль компании. Найдем (приближенно) вероятность того, что прибыль будет не менее Q$:

Пример 2. Участник лотереи вычеркивает 5 чисел из 36 (5 из которых выигрышные). При совпадении 3-х чисел выигрыш составляет 3$, 4-х – 50$ и 5-ти – 500$. Найти границы практически возможных выплат по лотереи, если в ней участвуют п = 10.000 человек.

Решение:

Обозначим через Х_к – выплаты к -му участнику. Возможные значения этой ДСВ: 0, 3, 50,500. Соответствующие им вероятности можно найти, используя классическое определение вероятности, например:

Ряд распределения и числовые характеристики ДСВ Х_к:

Хк
Р	р0	0,012344	0,000411	0,000003

В силу Ц.П.Т. суммарные выплаты по лотерее Y = SX_k имеют приближенно нормальное распределение с параметрами:

mn = 590$,

sÖn = 434,4$.

Применяя к СВ Y “правило 3-х сигма”, получим границы практически возможных выплат:

верхняя граница = 590 + 3*434,4 = 1893$

нижняя граница = 0.

Пример 3. В условии предыдущего примера определить минимальное число участников, при котором лотерея не принесет убытка организаторам, если стоимость одного билета 0,3$.

Решение:

Искомое число можно найти из неравенства:

,

где m и s найдены ранее. Имеем

Итак, уже 293 участника обеспечат организаторам отсутствие убытков.

Список рекомендуемой литературы:

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и Связь, 1983. – 416с.

3. Гихман И.И. Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – К.: Вища шк., 1988. – 438с.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая шк., 1979. – 477с.

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 400с.

6. Емельянов Г.В. Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. – Л.: ЛГУ, 1967. – 332с.

7. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под ред. А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1970. – 656с.

Содержание:

Тема 1. Классическая формула вычисления вероятности.

Тема 2. Геометрическая вероятность.

Тема 3. Теоремы сложения и умножения.

Тема 4. Формулы полной вероятности и Байеса.

Тема 5. Повторение опытов.

Тема 6. Повторение опытов (при большом n)

Тема 7. Дискретная случайная величина.

Тема 8. Непрерывная случайная величина.

Тема 9. Нормальное распределение.

Тема 10. 2-мерная дискретная случайная величина.

Тема 11. 2-мерная непрерывная случайная величина.

Тема 12. Функция от случайной величины.

Тема 13. Функция от двух случайных величин.

Тема 14. Закон больших чисел.

Тема 15. Центральная предельная теорема.

Список рекомендуемой литературы.