ТЕМА 5. Повторение опытов

Основные определения и формулы:

Пусть осуществляется n независимых повторений некоторого эксперимента (или n независимых экспериментов), в каждом из которых может произойти событие А.

Если вероятность этого события в каждом испытании равна р, то вероятность Р(n;k) того, что в n испытаниях событие А наступит ровно к раз определяется формулой Бернулли:

Р(n;k) = .

В случае когда вероятность события А в m -ом испытании равна p_m, m = 1.. n, вероятность Р(n;k) равна коэффициенту при z^k в разложении производящей функции:

G(z) = ,

где q_m = 1 – р_m.

Другое обобщение формулы Бернулли состоит в следующем. Пусть в каждом из независимых испытаний может появиться одно из m несовместных событий A_i и P(A_i) = p_i во всех испытаниях, =1. Тогда вероятность Р(n;k₁;k₂;…;k_m) того, что в n испытаниях событие A_i произойдет k_i раз, i = 1..m, , определяется полиномиальной формулой:

P(n;k₁;k₂;…;k_m) = .

Наиболее вероятное число m₀ появлений события А в n испытаниях (если в каждом испытании Р(А) = р) равно целой части числа р(n+1). Если р(n+1) – целое, то наибольшее значение вероятности Р(n;k) достигается при двух числах: m₀ = р(n+1) и m₀ = 1.

Замечание. Некоторые задачи, связанные с повторением испытаний, не требуют для своего решения использования специальных формул, а решаются на основании теорем сложения и умножения.

Решение типовых примеров:

Пример 1. В продукции некоторого производства брак составляет 10%. Наудачу отбираются семь изделий. Найти вероятности событий:

В – среди отобранных – 2 бракованных;

С – не более двух бракованных;

D – хотя бы одно бракованное.

Решение:

Отбор одного изделия – это испытание, в котором может появиться событие А – изделие является бракованным, причем р=Р(А)=0,1. По условию задачи проведено семь таких испытаний. Вероятность события В сразу находим по формуле Бернулли:

Р(В) = Р(7;2) = .

Для события С можно написать: С = С₀ + С₁ + С₂, где С_к – среди отобранных ровно к бракованных. Используя теорему сложения, получим:

Р(С) = Р(7;0) + Р(7;1) + Р(7;2) =

Как интерпретировать полученный результат? Будем считать, что изделия укладываются в коробки по 7 штук, причем, если в коробке оказалось не более двух бракованных, то её назовем “хорошей”. Полученный результат для Р(С) означает, что 97,4% всех коробок являются “хорошими”.

Для вычисления P(D) нет необходимости применять формулу Бернулли, а достаточно перейти к – все изделия стандартные и применить одну из теорем сложения:

P(D) = 1 – 0,9⁷ = 0,522.

Пример 2. Имеется n перенумерованных урн, в каждой из которых n шаров, причем в к- ой урне ровно к черных и n-k белых, к = 1..n. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность P(n;k) того, что среди n извлеченных шаров ровно к черных? Рассмотреть частный случай, когда n = 4, к = 2.

Решение:

Извлечение шара из урны – это испытание, в котором может появиться интересующее нас событие А – шар черный. Однако вероятность события зависит от номера испытания: для к -ой урны Р(А) = р_к = к / n, q_k = (n – k) / n, k = 1.. n. Составляем производящую функцию:

G(z) =

Искомая вероятность P(n;k) есть коэффициент при z^k в разложении этой функции:

G(z) =

Коэффициенты такой функции можно найти дифференцированием:

P(n;k) =

В частном случае имеем:

G(z) =

Коэффициент при z³ – это искомая вероятность:

Р(4;3) =

Пример 3. В каждом выстреле стрелок наверняка попадает в мишень, состоящую из четырех перенумерованных частей, причем вероятность попасть в каждую часть пропорциональна ее номеру. Найти вероятность того, что в пяти выстрелах стрелок 1 раз попадет в первую часть и по два раза в третью и четвертую.

Решение:

Каждый выстрел – это испытание, в котором может произойти одно из четырех событий: А_к – стрелок попал в часть мишени с номером к, к = 1..4. По условию Р(А_к) = р_к = М*к и . Для коэффициента пропорциональности М имем:

М*1 + М*2 + М*3 + М*4 = 1, откуда М = 0,1.

Итак, р₁ = 0,1; р₂ = 0,2; р₃ = 0,3; р₄ = 0,4.

Искомая вероятность есть вероятность Р(5; 1, 0, 2, 2) того, что в пяти испытаниях событие А₁ произошло 1 раз, А₂ – ни разу, А₃ и А₄ – по 2 раза. Полиномиальная формула дает ответ:

Р(5; 1, 0, 2, 2) =

Пример 4. Из урны, содержащей 3 черных и 4 белых шара, извлекают по одному с возвращением несколько шаров: а) Найти наиболее вероятное число появлений черного шара в 10-ти извлечениях; в 20-ти извлечениях. б) Сколько нужно произвести извлечений, чтобы наивероятнейшее число появлений черного шара было равно 7?

Решение:

Обозначим: А – извлечен черный шар. Тогда: р = Р(А) = 3/7.

а) для 10-ти извлечений имеем: (n+1)p = 11*3/7»4,7. Целая часть этого числа m₀ = 4. Это и есть наиболее вероятное число появлений черного шара в 10-ти извлечениях.

Для 20-ти извлечений имеем: (n+1)p = 21*3/7»9. Это число целое, поэтому существуют два значения m₀ = 9 и m₁ = 8, при которых вероятность Р(20;к) того, что в 20-ти извлечениях черный шар появится к раз, достигает наибольшего значения. Найдем это значение:

Р(20;9) =

б) исходя из того, что наивероятнейшее число m₀ появлений события А является целой частью числа р(n+1), можно написать двойное неравенство:

np – q £ m₀ £ np + p, где q = 1 – p.

Отсюда для n можно получить:

Для наших условий р = 3/7, q = 4/7, m₀ = 7:

или 15,3 £ n £ 17,6.

Таким образом, если число извлечений равно 16 или 17, то наиболее вероятное число появлений черного шара равно 7.

Пример 5. Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событие А не произойдет к раз. Найти вероятность того, что потребуется n испытаний (n ³ k), если в каждом из них Р(А) = р.

Решение:

Событие В – n испытаний до к -го появления события А – есть произведение двух таких событий:

D – в n -ом испытании А произошло;

С – в первых (n–1) -ом испытаниях А появилось (к-1) раз.

Теорема умножения и формула Бернулли дают требуемую вероятность:

Р(В) = Р(С)*Р(D) = P(n–1; k–1)*P(A) =