ТЕМА 9. Нормальное распределение

Основные определения и формулы:

Говорят, что НСВ Х имеет нормальное распределение с параметрами т и s, если ее плотность имеет вид:

Основные числовые характеристики: М(Х) = m, D(X) = s². Вероятность того, что такая СВ примет значение в некотором интервале, выражается через функцию Лапласа:

Для интервала, симметричного относительно т:

Если в последней формуле положить а = 3s, то получим:

Отсюда следует так называемое “правило 3^х сигма”:

нормально распределенная с параметрами т и s случайная величина практически всегда принимает значения из промежутка (т – 3 s; т + 3s).

Решение типовых примеров:

Пример 1. Дозатор-автомат фасует сахар в мешки по 50 кг. Неизбежные случайные ошибки в работе дозатора приводят к тому, что масса наудачу взятого мешка есть СВ Х, имеющая нормальное распределение со средним значением т = 50 кг. известно, что 1,5% мешков имеют массу, превышающую 51 кг. а) Каков % мешков, масса которых меньше 49,5 кг.? б) Какова вероятность того, что среди 7 наудачу выбранных мешков ровно 1 будет иметь массу меньше 49,5 кг.?

Решение:

Рассмотрим событие А={X > 51}. По условию задачи Р(А) = 0,015. С другой стороны:

Сравнивая, получим F(1/s)=0,475. Из таблицы значений функции Лапласа находим, что значение 0,475 она принимает в точке 2,17. Отсюда получаем:

Таким образом, 14% всех мешков имеют массу меньше 49,5 кг.

Находя значения функции Лапласа, мы пользовались ее свойствами: 1) нечетность; 2)стремление к 05 при неограниченном возрастании аргумента.

б) выбор мешка – это испытание, в котором может произойти событие A={X < 49,5}, причем р = Р(А) = 0,14. Используем формулу Бернулли:

Пример 2. Имеется случайная величина Х, подчиненная нормальному закону с параметрами т и s. Требуется приближенно заменить нормальный закон равномерным в интервале (a; b), причем, его границы подобрать так, чтобы сохранить неизменными основные числовые характеристики СВ Х: математическое ожидание т и дисперсию s ².

Решение:

Известно, что, если НСВ Х имеет равномерное распределение на (a; b), то ее характеристики есть:

Требование задачи состоит в следующем:

Решая эту систему, получим:

Пример 3. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием т = 0. Найти значение среднего квадратичного отклонения s, при котором вероятность попадания СВ Х в данный интервал (a; b), a > 0, достигает максимума.

Решение:

Выразим вероятность попадания в интервал через функцию Лапласа:

Чтобы исследовать на максимум, требуется найти производную и приравнять ее к нулю. Вспоминая правило дифференцирования определенного интеграла по верхнему пределу и правило дифференцирования сложной функции, получим:

Равенство этой производной нулю означает, что

Или

Отсюда имеем выражение для критической точки:

Выясним характер этой точки. Вероятность P(a < X < b) как функция s положительна и определена на (0; +¥), причем, при стремлении s к каждому из концов этого интервала, эта вероятность стремится к 0 (следствие непрерывности функции Лапласа). Значит, найденная критическая точка может быть только точкой максимума.