ТЕМА 3. Теоремы сложения и умножения

Основные определения и формулы:

Сумма событий А и В есть событие А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В.

Произведение событий А и В есть событие А*В, состоящее в совместном наступлении обоих событий А и В.

События называются несовместными, если их совместное наступление невозможно.

Противоположное событие для события А есть событие А, состоящее в ненаступлении события А. События А и А – несовместны, а их сумма совпадает с ПЭИ.

Некоторые свойства:

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло, называется условной вероятностью Р(А/В).

События А и В называются независимыми, если Р(А/В) = Р(А) (или Р(В/А) = Р(В)).

Теорема умножения 1. (ТУ1): Р(АВ) = Р(А)*Р(В/А) = Р(В)*Р(А/В).

ТУ 2.: вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению их вероятностей.

Теорема сложения 1. (ТС1): вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

ТС 2.: Р(А) = 1 – Р(А).

ТС 3.: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Решение типовых примеров:

Пример 1. Из урны, содержащей 5 красных и 7 белых шаров, наудачу извлекают по одному два шара. Найти вероятности событий:

В – извлеченные шары – белые;

С – только первый извлеченный шар – белый;

D – только один извлеченный шар – белый.

Рассмотреть два случая: а) извлечения без возвращения; б) извлечения с возвращением.

Решение:

Обозначим: А_к – к -й извлеченный шар – белый, к = 1.. 2. Тогда

а) если 1^й шар не возвращают в урну, то вероятности событий, связанных со вторым извлечением зависят от исхода первого, т.е. А₁ и А₂ – зависимые события и поэтому:

.

Условную вероятность нашли, рассуждая так: после того, как событие А₁ произошло, т.е. первый извлеченный шар был белый, второе извлечение осуществляется из урны, содержащей 5 красных и 6 белых (7 – 1 = 6) шаров. Поэтому Р(А₂ /А₁) = 6 /11.

Аналогично .

Слагаемые в записи события D являются несовместными, поэтому:

.

б) в случае возвращения извлеченного шара извлечения становятся независимыми испытаниями, а значит и события, связанные с ними – независимые, причем Р(А₁) = Р(А₂) = 7/12. Поэтому:

Р(В) = (7 / 12)²; Р(С) = ; Р(D) = .

Пример 2. Из колоды карт (36 карт, 4 масти) извлекают наудачу сразу 3 карты. Найти вероятности событий:

А – среди извлеченных карт есть 2 бубны или 2 туза;

В – извлечена хотя бы одна дома.

Решение:

Событие А – это сумма событий: А₁ – среди извлеченных карт есть 2 бубны, А₂ – среди извлеченных карт есть 2 туза. Эти события – совместные и их произведение А₁*А₂ – среди извлеченных карт есть 2 бубны и 2 туза – может осуществиться только так: среди извлеченных карт есть туз бубновый, еще один туз из трех “не бубновых” и еще одна бубна из восьми “нетузов”. Поэтому n(A₁A₂) = .

Применяя ТС3 и классическую формулу вычисления вероятности, находим:

Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁А₂) = =

= .

Чтобы найти Р(В), перейдем к противоположному событию: – среди извлеченных нет дам, т.е. все “не дамы”:

Пример 3. Вероятность попадания в цель в каждом из n независимых выстрелов равна р. выразить через n и р вероятность Р хотя бы одного попадания в n выстрелах.

a) Найти Р для n = 3, р = 0,7;

b) Пусть р = 0,6. Сколько выстрелов нужно сделать, чтобы с вероятностью не меньшей 0,97 попасть хотя бы один раз?

c) Пусть n = 5. Какова должна быть вероятность попадания р в каждом выстреле, что бы с вероятностью не меньшей 0,95 попасть хотя бы один раз?

Решение:

Обозначим через А_к – “попадание” и – “промах” при к -ом выстреле. Тогда для события В – хотя бы одно попадание в n выстрелах, можно записать:

Применяя ТС1 и ТУ2, получим:

Р(В) = 1 – Р(В) = 1 – Р(А₁)* Р(А₂)* … * Р(А_n) = 1 – (1 – Р(А₁))ⁿ

Итак, Р = 1 – (1 – р)ⁿ.

a) вероятность хотя бы одного попадания в 3^х выстрелах (при условии, что при каждом выстреле вероятность попадания равна 0,7):

Р = 1 – (1 – 0,7)³ = 0,973

b) нахождение требуемого числа выстрелов n сводится к решению неравенства:

0,97 £ 1 – (1 – 0,6)ⁿ или 0,4ⁿ £ 0,03.

Отсюда получаем для n:

n ³ lg 0,03 / lg 0,4 = 3,83

Итак, необходимо сделать не менее 4^х выстрелов.

c) искомая вероятность р удовлетворяет неравенству:

1 – (1 – р)⁵ ³ 0,95 или (1 – р) £

Отсюда получаем: р ³ 0,451.

Пример 4. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью р₁, а второй – р₂. Найти вероятности событий:

В – попал только первый стрелок;

С – попал только один стрелок;

D – попал хотя бы один стрелок.

если каждый сделал по одному выстрелу.

Решение:

Обозначим через A_i – попадание, – промах i-го стрелка, i = 1.. 2. “Попал только первый” подразумевает, что второй промахнулся, т.е. “Попадание только одного” есть сумма двух слагаемых: “попал только первый” и “попал только второй”, т.е. Для события D можно написать различные представления:

D = A₁ + A₂ (слагаемые совместные);

D = C + A₁A₂ (слагаемые несовместные);

D = “не попал ни один” =

Теоремы сложения и умножения позволяют найти требуемые вероятности:

Р(В) = р₁*(1 – р₂);

Р(С) = р₁*(1 – р₂) + р₂*(1 – р₁);

Пример 5. Независимые события производятся до тех пор, пока не произойдет событие А, причем: вероятность появления А в каждом испытании одна и та же и равна р. найти вероятности событий:

В – опыт закончится на третьем испытании;

С – потребуется нечетное число испытаний;

D – потребуется не менее трех испытаний.

Решение:

Обозначим через А_к – появление и – непоявление события А в к -ом испытании, к = 1, 2, …. По условию Р(А_к) = р, . Окончание опыта на третьем испытании означает, что в первых двух испытаниях событие А не происходило, а в третьем – произошло, т.е. В = А₁*А₂*А₃.

В общем случае, если B_n – опыт закончится на п -ом испытании, - то можно записать:

В = А₁*А₂* … *А_{n – 1}*A_n и C = .

Для события D можно записать аналогичное равенство:

D = .

Можно также рассмотреть – менее трех испытаний, т.е. “два испытания или одно”: D = Но лучше рассуждать так: потребуется три и более испытаний только тогда, когда в первых двух событие А не произошло, т.е. D =

Используя теоремы сложения и умножения, получаем:

Р(В) = q²*p; P(D) = q²;

P(C) =