ТЕМА 10. 2-мерная дискретная случайная величина

Основные определения и формулы:

Если результат СЭ описывается двумя случайными величинами X и Y, то принято говорить о 2-мерной СВ или о системе СВ (Х₀Y). Ее интерпретируют как случайную точку с координатами (X; Y) по плоскости хОу или как случайный радиус-вектор такой точки.

Совместной функцией распределения системы (Х, Y) называют функцию F(x; y) двух переменных, определяемую равенством:

F(x; y) = P{(X < x)*(Y < y)}.

Геометрически F(x; y) представляет собой вероятность попадания случайной точки (х; у) в бесконечный квадрат с вершиной (х; у), лежащий левее и ниже ее.

Пусть ДСВ Х и Y принимают значения х₁, х₂, … и у₁, у₂, … соответственно. Тогда совместный закон распределения можно задавать матрицей (Р_ij), элементы которой р_ij=P{(X = x_i)(Y = y_j)}, удовлетворяют очевидному условию: .

Суммируя вероятности р_ij по строкам, получим ряд распределения СВ Х, а суммируя их по столбцам – СВ Y.

Пусть т₁ и т₂ – математические ожидания, s₁ и s₂ – средние квадратичные отклонения случайных величин Х и Y соответственно. Коэффициентом корреляции системы (X; Y)называют число:

Свойства коэффициента корреляции:

1. –1 £ r £ 1;

2. если X и Y – независимы, то r = 0;

3. если Y = aX + b, где a и b - неслучайны, то r = ±1 (знак “+” соответствует а > 0, знак “–” соответствует а < 0).

Решение типовых примеров:

Пример 1. Из колоды карт наудачу извлекают по одной с возвращением 2 карты. Х – число карт черного цвета, Y – число карт пиковой масти среди извлеченных. Найти совместный закон распределения (X, Y) и коэффициент корреляции.

Решение:

Возможные значения величин X и Y – это 0, 1, 2. Обозначим р_ij = P{(X=i)(Y=j)}, i, j =0, 1, 2. Так как карта пиковой масти черная, то р₀₁ = р₀₂ = р₁₂ = 0. Найдем остальные вероятности, используя теоремы сложения и умножения.

р₀₀ = Р(X=0, Y=0) = P(обе карты красные) = ½ * ½.

р₁₀ = Р(X=1, Y=0) = P(только одна черная, но не пика) = P(одна трефа и одна красная) = ¼ *½ + ½ *¼.

р₁₁ = Р(X=1, Y=1) = P(одна пика и одна красная) = 2*¼* ½.

р₂₀ = P(обе черные, но не пики) = ¼*¼.

р₂₁ = P(одна пика и одна трефа) = 2*¼*¼.

р₂₂ = P(обе пики) = ¼*¼.

Итак, совместный закон распределения имеет вид:

Х	Y
	0.25
	0.25	0.25
	0.0625	0.125	0.0625

Суммируя вероятности по строкам и столбцам, находим законы распределения Х и Y:

Х					Y
р	0,25	0,5	0,25	p	0,5625	0,375	0,0625

Анализируя условия СЭ, приходим к выводу, что СВ Х и Y имеют биномиальные распределения с параметрами: п = 2, р₁ = 0,5 (для Х) и р₂ = 0,25 (для Y). Поэтому их основные числовые характеристики можно найти, не прибегая к выписанным выше законам распределения:

m₁ = M(X) = np₁ = 1; m₂ = M(Y) = np₂ = 0,5;

Далее находим М(X·Y):

M(X,Y) = = 0*0*0,25 + 0*1*0 + 0*2*0 + 1*0*0,25 + 1*1*0,25 + + 1*2*0 + 2*0*0,0625 + 2*1*0,125 + 2*2*0,0625 = 0,75.

Теперь можно найти коэффициент корреляции:

Пример 2. Производятся три независимых выстрела по мишени, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Х – число попаданий, Y – число промахов. Найти закон распределения системы (X, Y) и вычислить коэффициент корреляции.

Решение:

Возможные значения случайных величин Х и Y – это 0, 1, 2, 3. Очевидно, что p_ij = P{(X=i)(Y=j)} = 0, если i + j ¹ 3, i,j = 0, 1, 2, 3. Остальные вероятности находим по формуле Бернулли (n = 3, p = P(попадания)):

р₀₃ = Р(Х=0; Y=3) = Р₃(0)=(1–р)³;

р₁₂ = Р₃(1) =

р₂₁ = Р₃(2) =

р₃₀ = Р₃(3) = р³.

Чтобы найти коэффициент корреляции, обратим внимание на то, что Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью Y =3 – X. Поэтому r = -1.

ТЕМА 11. 2- мерная непрерывная случайная величина.

Основные определения и формулы:

Совместная функция распределения F(x, y) =P{(X < x)(Y < y)} 2-мерной СВ (X, Y), обладает следующими свойствами:

1. F(-¥, -¥) = F(-¥, y)=F(x, -¥)=0; F(+¥, +¥)=1;

2. F(x, +¥) = F₁(x) – функция распределения СВ Х;

3. F(+¥, y) = F₂(y) – функция распределения СВ Y.

4. F(x, y) – неубывающая функция по каждому из аргументов.

В случае, если Х и Y непрерывные СВ, совместный закон распределения можно задавать совместной плотностью f(x,y) системы (Х, Y):

Плотность обладает следующими свойствами:

5) вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольную область D выражается формулой:

Отношения f(x,y)/f₂(y) = f₁(x/y) и f(x,y)/f₁(x) = f₂(y/x) называются условными плотностями случайных величин Х и Y соответственно.

Две СВ Х и Y называются независимыми если f₁(x/y) = f₁(x) или f₂(y/х) = f₂(y).

Если Х и Y независимы, то совместная плотность системы (X, Y) равна произведению плотностей Х и Y:

f(x,y) = f₁(x)* f₂(y).

Корреляционным моментом двух СВ Х и Y называют величину:

K=M(XY) – M(X)M(Y).

Если Х и Y – непрерывны и f(x,y) – их совместная плотность, то:

Коэффициентом корреляции двух СВ Х и Y называют безразмерную величину r:

Решение типовых примеров:

Пример 1. Система СВ (X,Y) задана совместной плотностью:

Найти: а) параметр А; б) совместную функцию распределения F(x,y); в)одномерные функции f₁(x), f₂(y), F₁(x), F₂(y); г) условные плотности f₁(x/у) и f₂(у/x); д) корреляционный момент.

Решение:

а) параметр А находим, используя свойство 2):

б) функция распределения F(x,y) отлична от 0 только в первом квадрате, причем (свойство 3)):

в) используя свойство 4), находим плотности СВ Х и Y:

(здесь использовалось известное соотношение х = о(е^х) при хà+¥).

Для отрицательных значений аргументов плотности f₁(x), f₂(y) равны 0, т.к. равна 0 совместная плотность.

Функции распределения F₁(x), F₂(y) находим, используя свойство одномерных плотностей:

г) условные плотности:

Эта плотность определена лишь для y > 0, при которых f₂(y) ¹ 0.

Эта плотность определена лишь для x > 0.

д) найдем сначала числовые характеристики СВ Х и Y. Вид плотности f₁(x) означает, что Х имеет показательное распределение с параметром l = 3. Поэтому:

M(X) = 1/3; D(X) = 1/9.

Вид плотности f₂(у) говорит о том, что M(Y) = +¥, т.к. интеграл

расходится (подынтегральная функция на +¥ эквивалентна функции 3/у, интеграл от которой расходится).

Таким образом, корреляционный момент не существует.