ТЕМА 2. Геометрическая вероятность

Основные определения и формулы:

Пусть СЭ можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, ПЭИ = G. Если СЭ обладает симметрией возможных исходов, то все точки G “равноправны” и естественно считать, что вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере и не зависит от его расположения и формы. Для такого СЭ геометрическая вероятность события А определяется отношением:

Р(А) = m(A) / m(G),

Где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего ПЭИ и события А.

Решение типовых примеров:

Пример 1: на плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r (r + d <D). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение:

В качестве элементарного исхода этого СЭ будем считать расстояние x от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все ПЭИ – это отрезок G = {x: 0£x£D}. Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. 0£x£d, или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е. d£x£d+r.

Для искомой вероятности получаем:

Р(А) = (d + r) / D.

Пример 2. По радиоканалу в течение промежутка времени (0;Т) передаются два сигнала длительностью Т₁<Т/2; каждый из них с одинаковой возможностью начинается в любой момент интервала (0;Т-Т₁). Если сигналы перекроют друг друга хотя бы частично, оба они искажаются. Найти вероятность принятия сигналов без искажений.

Решение:

Обозначим через х момент начала первого сигнала, у – второго. Все ПЭИ можно представить в виде квадрата:

G = {(x,y): 0<x<T-T₁, 0<x<T-T₁}.

Сигналы не п0ерекроются, если длительность Т₁ меньше, чем время между началами сигналов, т.е. интересующее нас событие:

А = “сигналы не искажены”= {(x,y): |x – y|>T₁}.

Это множество состоит из двух одинаковых равнобедренных треугольников в углах квадрата G, катеты которых равны Т – 2Т₁. Поэтому вероятность равна:

Р(А) = (Т – 2Т₁)² / (Т – Т₁)²