Эмпирическая функция распределения. Пусть – число наблюдений, при которых значение признака Х меньше х

Пусть – число наблюдений, при которых значение признака Х меньше х. При объеме выборки, равном п, относительная частота события равна . Функция

, (3.3)

определяющая для каждого значения х относительную частоту события , называется эмпирической функцией распределения или функцией распределения выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функция распределения генеральной совокупности называется теоретической функцией распределения. Функция определяет вероятность события , а – относительную частоту этого события. Из теоретических результатов теории вероятностей (закон больших чисел) следует, что при больших п вероятность отличия этих функций друг от друга близка к единице:

(3.4)

Нетрудно видеть, что обладает всеми свойствами , что вытекает из ее определения (3.3), а именно:

значения принадлежат отрезку

является неубывающей функцией;

если – наименьшая варианта, то при если – наибольшая варианта, то при

Сама же функция служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример 2. Построить эмпирическую функцию по заданному распределению выборки:

2 4 6

10 15 25.

Решение. Объем выборки =10+15+25=50. Наименьшая варианта равна 2, поэтому при Значение (или наблюдалось 10 раз, значит, при Значения ( наблюдались 10+15=25 раз, значит, при Поскольку – максимальная варианта, то при Формула искомой эмпирической функции имеет вид

График этой функции имеет вид (рис. 3.1):