Інтегральна теорема Лапласа

Розглянемо ще одну задачу, яка виникає в процесі повторення випробувань, а саме: необхідно визначити ймовірність того, що подія А відбулася в результаті n випробувань не менше k₁ і не більше k₂ разів (тобто від k₁ до k₂). Для розв’язування цієї задачі використовують інтегральну теорему Лапласа.

Т е о р е м а 3.2. Якщо ймовірність р появи події А при кожному випробуванні стала й відрізняється від 0 та 1, то ймовірність Р_n (k₁, k₂) того, що подія А відбудеться під час n випробувань від k₁ до k₂ разів, приблизно дорівнює такому визначеному інтегралу:

, (3.1)

.

Зведемо формулу (3.1) до вигляду, зручного для застосування:

Тобто

, .

Для обчислення функції користуються таблицями (табл. 2 додатка 1). При цьому необхідно пам’ятати, що:

- функція непарна, тобто ;

- для .

П р и к л а д 3.3. Імовірність того, що деталь не перевірена контролером, дорівнює 0,2. Визначити ймовірність того, що серед 400 деталей від 70 до 100 неперевірених.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Скористаємось інтегральною теоремою Лапласа прийнявши, що р = 0,2, q = 0,8, k₁ = 70, k₂ = 100, n = 400. Тоді

з таблиць дізнаємось, що

Тоді .