Формула повної ймовірності

Нехай подія А може відбутися лише за умови настання однієї з несумісних подій В ₁, В ₂, …, В_п, що створюють повну групу. Нехай також відомі ймовірності цих подій Р (В ₁), Р (В ₂),…, Р (В_n) та умовні ймовірності . Як визначити ймовірність події А? Відповісти на це питання допоможе розгляд теореми.

Т е о р е м а 2.6. Імовірність події А, яка може відбутися лише при появі однієї з несумісних подій В ₁, В ₂, …, В_п, що утворюють повну групу, дорівнює сумі результатів множення ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А, а саме:

Д о в е д е н н я

За умовою теореми, подія А може відбутися, якщо настане одна з подій В ₁, В ₂, …, В_n. Тобто поява події А означає настання однієї з подій В ₁ А, В ₂ А, …, В_пА. Використовуючи теорему додавання несумісних подій, маємо, що

(2.1)

Кожний із записаних вище доданків за теоремою множення сумісних подій можна записати у вигляді: . Підставляючи праві частини цих виразів у рівність (2.1) отримуємо твердження теореми.

П р и к л а д 2.10. У першій урні лежать 4 чорних і 2 білих кулі, у другій – 6 чорних і 5 білих, у третій – 2 чорних та 4 білих. Знайти ймовірність того, що вийнята з навмання вибраної урни куля буде білою.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Позначимо через А подію: «вийнято білу кулю».

Куля могла бути вийнята з першої урни (подія В ₁), з другої (подія В ₂) або з третьої (подія В ₃) урни. Тоді за формулою повної ймовірності можемо записати такий вираз:

.

Обчислимо необхідні ймовірності.

Зрозуміло, що Р (В ₁) = Р (В ₂) = Р (В ₃)= 1/3;

відповідні умовні ймовірності

Підставляючи числові дані, робимо остаточні обчислення:

.

Відповідь: 16/33.

П р и к л а д 2.11. У першій коробці зберігається 20 деталей, з них 18 стандартних, у другій – 10 деталей, у т. ч. 9 стандартних. Із другої коробки навмання взято деталь і перекладено в першу коробку. Знайти ймовірність того, що навмання взята після цієї події деталь з першої коробки буде стандартною.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Уведемо такі позначення: подія А – взята деталь виявилась стандартною,

В ₁– перекладено стандартну деталь,

В ₂– перекладено нестандартну деталь.

Тоді відповідні ймовірності подій

Отже, шукана ймовірність події А обчислюється за формулою повної ймовірності таким чином:

.

Відповідь: 189/210.