Локальна теорема Лапласа

Т е о р е м а 3.1. Якщо ймовірність р появи події А при кожному випробуванні стала й відрізняється від 0 та 1, то ймовірність Р_п (k)того, що подія А відбулася під час n випробувань рівно k разів, приблизно визначають за такою формулою:

,

тут .

Значення функції: , для додатного аргументу х наведено в табл. 1 додатка 1, а для від’ємних значень аргументу користуються тими самими таблицями, враховуючи, що функція є парною, тобто .

П р и к л а д 3.2. Імовірність влучення у мішень дорівнює 0,75. Визначити ймовірність того, що, зробивши 10 пострілів, стрілець влучить у мішень 8 разів.

Р о з в ’ я з у в а н н я

За умовами задачі p = 0,75, q = 0,25, n = 10, k = 8.

Скористаємося формулою Лапласа. Для цього спочатку обчислимо значення :

.

Тоді, враховуючи, що ,

Тепер розв’яжемо задачу за допомогою формули Бернуллі, а саме:

.

Як бачимо, формула Бернуллі дає інший результат. Різниця пояснюється тим, що в даному прикладі n = 10, це досить мале значення, а формула Лапласа дає добрі результати тільки, коли значення n велике.