Формула Бернуллі

Нехай проводиться n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А може відбутись або ні. Припустимо, що ймовірність появи події А у кожному з випробувань одна й та сама і дорівнює р, відповідно ймовірність відсутності події А у випробуванні q = 1 – p.

Обчислити ймовірність того, що внаслідок проведення n випробувань подія А відбудеться рівно k разів. Цю ймовірність позначимо через Р_n (k).

Імовірність однієї складної події, яка означає, що в n випробуваннях подія А матиме місце рівно k разів, дорівнює за формулою множення ймовірностей незалежних подій p^kq^n-k.

Таких подій може бути С_n^k,і,враховуючи, що вони несумісні, а ймовірності їх однакові, ми можемо записати, що

Цей вираз називається формулою Бернуллі.

П р и к л а д 3.1. Імовірність того, що при перевірці деталь виявиться бракованою, дорівнює 0,2. Визначити ймовірність виявлення при перевірці 10 деталей двох бракованих.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Вважаємо перевірку однієї деталі випробуванням. Тоді ми можемо застосувати формулу Бернуллі при таких значеннях параметрів: n = 10, k = 2, p = 0,2, а саме:

Очевидно, що коли кількість випробувань n велика, або ймовірність р близька до одиниці чи нуля, користуватись формулою Бернуллі досить складно. Для таких випадків доцільно застосовувати асимптотичні формули.