Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба

1. Найти и .

2. Найти критические точки второго рода.

3. Определить знак второй производной слева и справа от критических точек.

4. Сделать заключение об интервалах выпуклости и вогнутости графика и наличии точек перегиба.

5. Вычислить значение функции в точках перегиба.

6. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке .

1. Найти .

2. Найти точки, в которых или не существует, и отобрать из них те, которые лежат внутри отрезка .

3. Вычислить значения функции в точках, полученных в п.2, а также на концах отрезка и , и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения: они и являются соответственно наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке .

7. Алгоритм отыскания асимптоты графика функции .

1. Вычислить . Если этот предел существует и равен , то горизонтальная асимптота; если , то перейти ко второму шагу.

2. Вычислить . Если этот предел не существует, то асимптоты нет; если он существует и равен, то перейти к третьему шагу.

3. Вычислить . Если этот предел не существует, то асимптоты нет; если он существует и равен , то перейти к четвёртому шагу.

4. Записать уравнение наклонной асимптоты в виде .

Асимптота – прямая l, до которой расстояние от текущей точки М: .

Точки перегиба

Необходимый признак: либо не существует.

и − точки максимума

− точка минимума

и − точки перегиба

8. Алгоритм исследования и построения графика функции.

1. Найти область определения.

2. Найти вертикальные асимптоты.

3. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

4. Исследовать функцию на четность – нечетность.

5. Исследовать функцию на периодичность.

6. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

7. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

8. Найти точки пересечения с осями координат.

9. Найти дополнительные точки для уточнения графика.

10. Результаты исследования желательно оформить в виде таблицы.

11. Порядок исследования можно изменить исходя из конкретной функции.

12. Целесообразно исследования функции сопровождать построениемграфика – эскиза, и после уточнения прейти к построению точного графика.

9. Алгоритм использования дифференциала в приближённых вычислениях.

Чтобы найти приближённое значение некоторой величины , нужно:

1. Представить в виде значения некоторой функции в точке .

2. Подобрать так, чтобы точка была достаточно близка к точке , и чтобы значение было вычислить легко.

3. Вычислить .

4. Для функции найти и .

5. Подставить найденные значения в формулу .

Неопределённый интеграл

1. Алгоритм нахождения интеграла методом интегрирования по частям.

1. Представить подынтегральное выражение в виде произведения .

2. Найти и .

3. Применить формулу интегрирования по частям .

4. Найти интеграл .

5. Подставить результат в найденное в алгоритме (3) выражение.

Примечание:

I. Следует полагать

Следует полагать

Следует полагать

II. Следует полагать

. Следует полагать .

. Следует полагать .

(где через обозначен многочлен).