Пример 3.2

Радист вызывает корреспондента, причем каждый последующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что корреспондент примет вызов, равна 0,4. Составить закон распределения числа вызовов, если:

а) число вызовов не более 5;

б) число вызовов не ограничено.

Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение:

а) Случайная величина X – число вызовов корреспондента – может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5. Обозначим событие Ai – i -й вызов принят (i = 1, 2, 3, 4, 5). Тогда вероятность того, что первый вызов принят, P(X=1)=P(A₁)=0,4.

Второй вызов состоится лишь при условии, что первый вызов не принят, т.е.

Аналогично

Пятый вызов при любом исходе (будет принят, не принят) I последний. Поэтому

(Вероятность Р(Х=5) можно найти и иначе, учитывая, что последний вызов будет или принят, или нет, т.е.

)

Ряд распределения случайной величины X имеет вид

X:	xi
pi	0,4	0,24	0,144	0,0864	0,1296

Проверяем, что

По формуле (3.3) вычислим математическое ожидание:

Так как M(X) – нецелое число, то находить дисперсию D(X) проще не по основной формуле (3.11), а по формуле (3.16), т.е. D(X) = M(X²) – а².

Вычислим

Теперь D(X) = 7,2784 – 2,3056² = 1,9626

б) Так как число вызовов не ограничено, то ряд распределения случайной величины Х примет вид

X:	xi					…	n	…
pi	0,4	0,24	0,144	0,0864	…	0,6n-1*0,4	…

Проверяем, что

(использовали формулу суммы сходящегося (│q│< 1) геометрического ряда: при a = 1, q= 0,6)

По формуле (3.4) вычислим математическое ожидание

Для вычисления суммы полученного ряда воспользуемся формулой:

(т.е. сумма данного ряда является производной сходящегося геометрического ряда при│q│=│x│<1). При х = 0,6.

, т.е. M(X) = 0,4*6,25 = 2,5

По формуле (3.12) вычислим дисперсию: D(X) = M(X²) – a².

Вначале найдем

Для вычисления суммы полученного ряда рассмотрим сумму ряда

S₁(x) при │х│< 1:

S₁(x) при х = 0,6:

, т.е. M(X²) = 0,4*25=10

Теперь D(X) = 10-2,5² = 3,75.