Почленное интегрирование и дифференцирование ряда

Теорема 2.1. Степенной ряд (1.2) сходится равномерно на любом отрезке, целиком содержащемся внутри интервала сходимости.

Доказательство. Пусть степенной ряд имеет интервал сходимости (-R,R). Рассмотрим какой-нибудь отрезок целиком содержащимся в (-R,R). Очевидно, что всегда можно найти отрезок вида , содержащий и целиком лежащий в (-R,R). Если , то и, следовательно, члены ряда (3.2) не превосходят по модулю членов ряда

Но последний ряд сходится, так как r<R. Таким образом, согласно признаку Вейерштрасса, ряд (3.2) сходится равномерно на отрезке

Теорема доказана.

Теорема. (непрерывность суммы ряда). На любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости степенного ряда (1.2), сумма ряда есть непрерывная функция.

Доказательство. Каждая частичная сумма степенного ряда, очевидно, является непрерывной функцией. По теореме 2.1 на любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости ряда сходимость является равномерной. Сумма ряда, являющаяся пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций, сама является непрерывной функцией. Теорема доказана.

Теорема. (Почленное интегрирование степенного ряда). Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда.

Теорема. (Почленное дифференцирование степенного ряда). Пусть степенной ряд

(1)

имеет радиус сходимости R. Тогда ряд

(2)

полученный в результате почленного дифференцирования ряда (1), также имеет радиус сходимости R. Производная суммы ряда (1) равна сумме ряда:

Из теоремы 2.4 следует

Теорема. Степенной ряд в пределах его интервала сходимости можно дифференцировать почленно любое число раз. При этом радиусы сходимости всех рядов, полученных дифференцированием данного ряда, совпадают с радиусом сходимости этого ряда.