Интегрируемость непрерывных функций

Докажем следующую основную теорему.

Теорема. Непрерывная на сегменте [ a, b ] функция f (x) интегрируема на этом сегменте.

Доказательство. Пусть дано любое ε > 0. В силу равномерной непрерывности функции f (x) на сегменте [ a, b ] для положительного числа ε /(b - a) можно указать такое δ > 0, что при разбиении T сегмента [ a, b ] на частичные сегменты [ x_{i -1}, x_i ], длины Δ x_i которых меньше δ, колебание ω_i функции f (x) на каждом таком частичном сегменте будут меньше ε /(b - a) (см. следствие из теоремы о равномерной непрерывности), Поэтому для таких разбиений T

Следовательно, для непрерывной на сегменте [ a, b ] функции f (x) выполнены достаточные условия интегрируемости.