Теория предела. Предел последовательности и предел функции. Теорема о существовании точной верхней грани

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Часть I

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛА. Предел последовательности и предел функции. Теорема о существовании точной верхней грани.

Пусть переменная величина x_n принимает бесконечную последовательность значений

x₁, x₂,..., x_n,..., (1)

причем известен закон изменения переменной x_n, т.е. для каждого натурального числа n можно указать соответствующее значение x_n. Таким образом предполагается, что переменная x_n является функцией от n:

x_n = f(n)

Определим одно из важнейших понятий математического анализа - предел последовательности, или, что то же самое, предел переменной величины x_n, пробегающей последовательность x₁, x₂,..., x_n,.....

Определение. Постоянное число a называется пределом последовательности x₁, x₂,..., x_n,.... или пределом переменной x_n, если для сколь угодно малого положительного числа e найдется такое натуральное число N (т.е номер N), что все значения переменной x_n, начиная с x_N, отличаются от a по абсолютной величине меньше, чем на e. Данное определение кратко записывается так:

| x_n - a |<e (2)

при всех n ³ N, или, что то же самое,

(3)

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Предел слева обозначается предел справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль: и . Так, для функции

Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел:

Так, функция имеет в точке x = 0 бесконечный предел Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так,

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство |f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A: