![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Часть I
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛА. Предел последовательности и предел функции. Теорема о существовании точной верхней грани.
Пусть переменная величина xn принимает бесконечную последовательность значений
x1, x2,..., xn,..., (1)
причем известен закон изменения переменной xn, т.е. для каждого натурального числа n можно указать соответствующее значение xn. Таким образом предполагается, что переменная xn является функцией от n:
xn = f(n)
Определим одно из важнейших понятий математического анализа - предел последовательности, или, что то же самое, предел переменной величины xn, пробегающей последовательность x1, x2,..., xn,.....
Определение. Постоянное число a называется пределом последовательности x1, x2,..., xn,.... или пределом переменной xn, если для сколь угодно малого положительного числа e найдется такое натуральное число N (т.е номер N), что все значения переменной xn, начиная с xN, отличаются от a по абсолютной величине меньше, чем на e. Данное определение кратко записывается так:
| xn - a |<e (2)
при всех n ³ N, или, что то же самое,
(3)
Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что
сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции
сходится к числу A.
Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.
Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство
Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство
Предел слева обозначается предел справа –
Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль:
и
. Так, для функции
Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел:
![]() |
Так, функция имеет в точке x = 0 бесконечный предел
Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так,
Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство |f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
![]() |
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 311 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!