Теорема о существовании точной верхней грани

Определение: АÌR mÎR, m - верхняя (нижняя) грань А, если " аÎА а£m (а³m).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что " аÎА, выполняется а£m (а³m).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) " m’: m’<m => m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) " n’: n’>n => n’ не нижняя грань A

Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) " aÎA a£m

2) "e>0 $ a_EÎA, такое, что a_E>a-e

InfA = n называется число, такое что: 1) 1) " aÎA a³n

2) "e>0 $ a_EÎA, такое, что a_E<a+e

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АÌR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.

[m]=max{[a]:aÎA} [[m],[m]+1]ÇA¹Æ=>[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m₁=max[10*{a-[m]:aÎA}]

m₂=max[100*{a-[m],m₁:aÎA}]

...

m_к=max[10^K*{a-[m],m₁...m_K-1:aÎA}]

[[m],m₁...m_K, [m],m₁...m_{K + 1}/10^K]ÇA¹Æ=>[m],m₁...m_K + 1/10^K - верхняя грань A

Докажем, что m=[m],m₁...m_K - точная верхняя грань и что она единственная:

"к: [m’_K,m”_K)ÇA¹0; "к "аÎА: а<m”_K

Единственность(от противного):

аÎА, пусть а>m”_K => $ к: а’_K>m”_K => а³а’_K>m”_K - это противоречит ограниченности => a£m

Точная верхняя грань:

Пусть l<m, тогда $ к: m’_K>l”_K, но так как "к [m’_K,m”_K) ÇA¹0 => $ аÎ[m’_K,m”_K) => а>l =>l - не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АÌR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{-а: аÎА}, оно ограничено сверху и не пусто => $ -SupB=InfA