Функции многих переменных. Дифференцируемость функций многих переменных. Теорема о достаточных условиях дифференцируемости функции

Пусть определена в некоторой окрестности точки , - точка из этой окрестности.

Определение 1 Величина называется приращением функции в точке, соответствующим приращению аргумента .

Определение 2 Функция называется дифференцируемой в точке , если существуют такие постоянные числа и функции при (1)

Часто обозначают и . Тогда (1) перепишем в виде .

При наше определение (1) совпадает с известными из материала 1-го семестра определением дифференцируемости . Для функций одной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае нескольких переменных ситуация несколько сложнее.

Сначала введем в рассмотрение величину . Она представляет собой приращение функции при фиксированных значениях всех производных, кроме i -той.

Пусть дифференцируема в точке . Тогда для любого равенство (1) дает при (2)

Поскольку при фиксированных значениях равносильно тому, что , равенство (18.2) означает, что функция одной переменной .

дифференцируема в точке и, значит, существует
(3)
называемый, по определению, частной производной функции по переменной в точке .

Мы только что, тем самым, доказали теорему:

Теорема1. Если дифференцируема в точке , то для всех существуют .

Таким образом, существование частных производных – необходимое условие дифференцируемости. При этом при .

Другое необходимое условие дифференцируемости – непрерывность функции, как показывает следующая теорема.

Теорема2. Если дифференцируема в точке , то .

Доказательство. Достаточно доказать, что при , , (т.к. ). Но это сразу следует из равенства (1), так как .

Однако, в отличие от случая , из существования частных производных ,определенных равенством (3) не следует даже непрерывность функции в точке и тем более не следует дифференцируемость в точке , согласно теореме(2).

Пример. . Тогда , так как . Аналогично, . Однако даже не непрерывна в точке .

Достаточное условие дифференцируемости дает следующая теорема.

Теорема. Пусть частные производные существуют в окрестности точки и непрерывны в этой точке. Тогда дифференцируема в точке .

Доказательство. Пусть принадлежит рассматриваемой окрестности . При этом все точки так же принадлежат рассматриваемой окрестности. Приращение функции представим в виде (4)

и рассмотрим разности (5) составляющие в сумме приращение (4).

Положим (то есть фиксируем все переменные, кроме ). Тогда рассматриваемая разность (5) имеет вид . Функция по условию дифференцируема на отрезке, соединяющим и . Значит, она непрерывна на этом отрезке и можно применить теорему Лагранжа, согласно которой , где .

Но . По условию непрерывности частных производных , где при .

Поэтому каждая из разностей (5) имеет вид , а приращение (4) совпадает с (3) из определения дифференцируемости. Теорема доказана.

Замечание 1. Непрерывность частных производных не является необходимым условием дифференцируемости функций. Например можно доказать, что функция дифференцируема в точке , но частные производные в этой точке не непрерывны.

Замечание 2. Тем не менее, для функции частные производные в точке равны 0, так как и (в остальных точках , и ясно, что эти производные терпят разрыв в точке . Но при1ращение не имеет вид , где при . Действительно, полагая и предполагая, что получаем , или что ншевозможно, так как при правая часть стремится к 0, а левая нет!

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Равномерная и поточечная сходимости функциональных последовательностей и рядов. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов. Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара о радиусе сходимости степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов (как следствия).

Отображение множества натуральных чисел N во множество действительных функций одного переменного x, определенных на промежутке I, называется функциональной последовательностью и обозначается

{ f_n (x  ) } или f ₁ (x  ), f ₂ (x  ), f ₃ (x …; (3) ),

функции f_n (x) называются членами последовательности. Каждое значение x ∈ I, для которого последовательность (3) имеет некоторый (конечный) предел, принадлежит области сходимости этой последовательности. Таким образом, последовательность определяет в области сходимости некоторую функцию

f (x) = f_n (x),

которая называется предельной функцией (или пределом) последовательности. В дальнейшем предполагаем, что область сходимости совпадает с областью определения I.

Для того чтобы охарактеризовать предельную функцию, используют понятие равномерной сходимости. Функциональная последовательность сходится к предельной функции f (x) равномерно в I, если для любого ε > 0 найдется такое N (ε), не зависящее от x, что для всех n > N (ε) и для всех x ∈ I выполняется неравенство

| f_n (x) – f (x)| < ε.

Обозначение: f_n (x) f (x).

Если существует такое ε > 0, что для каждого числа N имеется по меньшей мере одно n > N и x ₀ ∈ I такие, что | f_n (x ₀) – f (x ₀)| > ε, то говорят, что последовательность сходится неравномерно.

Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Последовательность (3) сходится равномерно в I тогда и только тогда, когда для каждого ε > 0 существует не зависящее от x число N (ε) такое, что при n ≥ N и для любого m ≥ N

| f_{n + m} (x) – f_n (x)| < ε для всех x ∈ I одновременно.

Функциональные ряды. Бесконечный ряд, построенный из функциональной последовательности

f_n (x) = f ₁ (x) + f ₂ (x) + … + f_n (x) + …

называется функциональным рядом. Понятия «область сходимости», «предельная функция» и «равномерная сходимость» переносятся на функциональную последовательность частичных сумм S_n (x) = f_s (x). Разность между суммой S (x) сходящегося функционального ряда и одной из его частичных сумм S_n (x) называют остатком и обозначают

R_n (x) = S (x) – S_n (x) = f_s (x).

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов. Ряд f_n (x) сходится на промежутке I равномерно, если существует сходящийся числовой ряд a_n с положительными членами такой, что для всех n ≥ N и всех x ∈ I выполняется неравенство

| f_n (x) | ≤ a_n.

Ряд a_n называется мажорантой функционального ряда f_n (x).

Признак Абеля равномерной сходимости рядов. Ряд a_n (x) b_n (x) сходится для всех x ∈ I равномерно, если ряд b_n (x) сходится в I равномерно и для каждого x ∈ I последовательность { a_n (x)} является монотонной и ограниченной.

Признак Дирихле равномерной сходимости рядов. Ряд a_n (x) b_n (x) сходится для всех x ∈ I равномерно, если частичные суммы (x) = b_k (x) равномерно ограниченны: | (x)| ≤ M, M = const, и если последовательность { a_n (x)} монотонно и равномерно стремится к нулю.

Степенной ряд есть функциональный ряд с общим членом f_n (y) = a_n (y – y ₀) ⁿ (n = 0, 1, 2, …) (a_n — действительные числа):

a_n (y – y ₀) ⁿ = a ₀ + a ₁(y – y ₀) + a ₂(y – y ₀)² + … + a_n (y – y ₀) ⁿ + …

Действительное число y ₀ называется центром степенного ряда. Заменой переменного x = y – y ₀ этот степенной ряд преобразуется в степенной ряд

a_n xⁿ = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + … + a_n xⁿ + …

с нулевым центром. В дальнейшем ограничимся исследованием рядов именно такого вида.

Существуют степенные ряды, которые

а) сходятся при всех x (всюду сходящиеся степенные ряды), например ;

б) сходятся только при x = 0, например n! xⁿ;

в) для некоторых x ≠ 0 сходятся, для других расходятся, например xⁿ.

· Если степенной ряд a_n xⁿ при некоторых x ≠ 0 сходится, а при остальных расходится, то существует, и притом только одно, положительное число r такое, что степенной ряд при | x | < r сходится, и даже абсолютно, а при | x | > r расходится. При x = r и x = – r ряд может как сходиться, так и расходиться. Число r называют радиусом сходимости степенного ряда. Если r > 0, то промежуток (– r, r) называется интервалом сходимости степенного ряда.

Для вычисления радиуса сходимости используется теорема Коши – Адамара: радиус r сходимости ряда a_n xⁿ равен обратной величине верхнего предела последовательности { }:

r =

(при этом r = ∞, если = 0, и r = 0, если = ∞).

Верхний предел r числовой последовательности { b_n } есть верхняя граница «сгущения» последовательности, т. е. для любого ε > 0 существует только конечное число индексов n таких, что b_n > r + ε, но для бесконечного числа n справедливо неравенство b_n > r – ε. Если для любого действительного числа C имеется бесконечное множество индексов n таких, что b_n > C, то говорят, что верхний предел равен + ∞; если напротив, имеется только конечное число индексов n таких, что b_n > C, то говорят, что верхний предел равен – ∞. Верхний предел существует всегда. Если существует , то

= .

Радиус сходимости r степенного ряда a_n xⁿ может быть вычислен также при помощи признака Даламбера: если существует предел = q, то r = (r = ∞ при q = 0 и r = 0 при q = ∞).