Дифференцируемые функции теоремы Ролля и Лагранжа. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b], имеет внутри интервала производную и если

f(a) = f(b)

то внутри интервала [а, b] найдется хотя бы одно такое значение x₀ (a < x₀ < b), что

f ' (x₀) = 0.

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. Функция f(x) постоянна на интервале [ а, b ]; тогда f ' (x) = 0 для любого x (a < x < b), т.е. утверждение теоремы Ролля выполняется автоматически.

2. Функция f(x) не является постоянной (Рисунок 1); тогда наибольшего или наименьшего или обоих этих значений она достигает во внутренней точке интервала, ибо f(b) = f(a), и если f(a) - наименьшее значение, то наибольшее значение значение функция f(x) примет внутри интервала.

Рис.1

Пусть например f(x₀) - наибольшее значение функции f(x) на интервале [ а, b ] и x₀ - внутренняя точка этого интервала. Тогда f(x₀) является максимумом функции: f(x₀) ³ f(x) для всех x из достаточно малой окрестности x₀ [за эту окрестность можно впрочем, взять интервал (а, b)].

Так как, по условию, f(x) имеет в точке x₀ производную, то по теореме о необходимом признаке экстремума,

f ' (x₀) = 0,

и теорема Ролля доказана.

Теорема Ролля имеет простое геометрическое толкование: если дана дуга AB кривой y = f(x), в каждой точке которой существует касательная, причем концы A и B находятся на одинаковом расстоянии от оси Ox, то на этой дуге найдется по крайней мере одна точка, в которой касательная t к кривой будет параллельна стягивающей дугу хорде, а следовательно и оси Ox (смотри рисунок 1).

Если повернуть оси координат на угол a, то концы A и B дуги AB уже не будут находится на одинаковом расстоянии от оси Ox', но касательная t по прежнему будет параллельна хорде AB (смотри рисунок 1). Поэтому естественно ожидать, что имеет место теорема:
Если дана дуга AB кривой y = f(x) с непрерывно изменяющейся касательной, то на этой дуге найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна стягивающей ее хорде AB (Рисунок 2).

Рис.2

Эта теорема является геометрической перефразировкой следующей теоремы, известной под названием теоремы Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [ а, b ] и внутри него имеет производную f ' (x), то найдется хотя бы одно такое значение x₀ (a < x₀ < b), что

f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = f(x) - k(x - a),

где - угловой коэффициент хорды AB (смотри рисунок 2).

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.

В самом деле, при x = a имеем F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), при x = b имеем

Кроме того, так как функция f(x) и k(x - a) непрерывны на [ a, b ] и диференцируемы в (a, b), то и функция F(x) = f(x) - k(x - a) непрерывна на [ a, b ] и диференцируема в (a, b).

Следовательно, по теореме Ролля, в интервале (a, b) найдется такая точка x₀, что

F'(x₀) = 0,

т.е.

f ' (x₀) - k = 0

или

Отсюда имеем

f(b) - f(a) = (b - a)f ' (x₀),

что и требовалось доказать.

Так как a + (b - a) = b, то величина a + Q (b - a), где Q - правильная положительная дробь (0 < Q < 1), равна какому-то числу в интервале (a, b), поэтому формулу Лагранжа можно записать в виде

f(b) - f(a) = (b - a)f ' [a + Q (b - a)]

Если положить a = x, b = x + D x, откуда b - a = D x, то формула Лагранжа запишется в виде

D y = f(x + D x) - f(x) = D xf ' (x + QD x).

Ранее было доказано, что если функция равна постоянной C при любом значении x в интервале (a, b), то ее производная равна нулю.

Докажем теперь обратную теорему, являющуюся следствием теоремы Лагранжа:

Если произвоодная f ' (x) обращается в нуль для любых значений x в интервале (a, b), то в этом интервале f(x) = C.

В самом деле, если x₁ и x₂ - два любых значения в интервале (a, b), то в силу теоремы Лагранжа, имеем

f(x₂) - f(x₁) = (x₂ - x₁)f'(x₀),

где, x₁ < x₀ < x₂. Но так как f'(x₀) = 0, то

f(x₂) - f(x₁) = 0,

что и доказывает нашу теорему.

Отсюда непосредственно вытекает важная теорема:

Если две функции f₁ (x) и f₂ (x) имеют одну и ту же производную в интервале (a, b), то они на данном интервале отличаются друг от друга на постоянную величину.

В самом деле, рассмотрим функцию

j (x) = f₂(x) - f₁(x).

Тогда для любого значения x из интервала (a, b)

j '(x) = f₂'(x) - f₁'(x) = 0.

Но это означает, что j (x) = C и, следовательно

f₂(x) - f₁(x) = С.

Формула Тейлора. Пусть на интервале [a, b] функция f(x) дифференцируема n раз и выполняются следующие равенства:

f(a) = f(b) = f '(a) = f ''(a)=... = f ^(n-1)(a)=0

Тогда внутри интервала [a, b] найдется хотя бы одно значение с, при котором

f ⁽ⁿ⁾(c) = 0

Доказательство. По теореме Ролля имеем

f '(x₀) = 0,

где a < x₀ < b. Тогда f '(x) на интервале [a, x₀] удовлетворяет теореме Ролля, так как, по условию, f '(a) = 0 и f '(x₀) = 0, а потому

f ''(x₁) = 0,

где a < x₁ < x₀.

Применяя теорему Ролля последовательно к функциям f ''(x), f '''(x),..., f ^(n-1)(x), найдем наконец:

f ⁽ⁿ⁾(с) = 0,

где a < c < x_n-1 < b. Теорема доказана.

Выведем теперь формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Пусть функция f (x) дифференцируема n раз на интервале [a, b].

Рассмотрим вспомогательную функцию

j (x) = f (x) - P (x),

где

Продифференцируем n раз функцию j (x). Тогда будем иметь

............................

j ^(n-1)(x) = f^(n-1)(x) - A_n-1 - A_n(x - a),

j ⁽ⁿ⁾(x) = f⁽ⁿ⁾(x) - A_n

Потребуем, чтобы функция j (x) удовлетворяла условиям обобщенной теоремы Ролля. Тогда будем иметь

(1)
.

Так как функция j (x) удовлетворяет условиям обобщенной теоремы Ролля, то найдется такое значение с (a < c < b), что

j ⁽ⁿ⁾(с) = f⁽ⁿ⁾(с) - A_n = 0 (2)

Далее найдем из n первых уравнений системы (1) коэффициенты A₀, A₁,..., A_n-1:

A₀ = f(a), A₁ = f'(a), A₂ = f''(a),..., A_n-1 = f^(n-1)(a),

а из уравнения (2) коэффициент A_n: A_n = f⁽ⁿ⁾(c) и подставим их значения в последнее уравнение системы (1):

,

где 0 < Q < 1

Заменяя b на x, получим формулу Тейлора:

где 0 < Q < 1

Последнее слагаемое

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

При a = 0 получается так называемая формула Маклорена:

где 0 < Q < 1, а остаточный член записывается в виде

ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Интеграл Римана. Теорема об интегрируемости непрерывной функции. Теорема о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть действительная функция f (x) определена и ограничена на ограниченном замкнутом интервале [ a, b ]. Разобъем этот интервал на n частичных интервалов точками

a = x ₀ < x ₁ < x ₂ <... < x_n = b.

Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке и составим сумму (интегральная сумма) .

Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения: , то функция f (x) называется интегрируемой в смысле Римана на интервале [ a, b ]. Предел этой суммы

называется определенным интегралом от f (x) по интервалу [ a, b ] в смысле Римана (интеграл Римана). Это определение означает, что для любого положительного числа существует такое число , что при любом разбиении интервала [ a, b ] на частичные интервалы, длины которых меньше .

и при любом выборе промежуточных точек выполняется неравенство

Функция f (x) называется подынтегральной функцией, а a и b - пределами интегрирования.