Дост. условия дифференцируемости

w=u(x,y)+iv(x,y)

u,v – диф. и удовл. усл. (3)=> найдётся

w ́ =lim ∆w/∆z=lim (∆u+i∆v)/(x+i∆y)

∆z→0 ∆z→0

Arcsin 1=-i∙Ln i=-i∙i(π/2+2πk)= π/2+2πk

y

x

∆u= u ́∆x+ u ́∆y+α(∆ρ)∆x+β(∆ρ)∆y (α и β – б/м)

w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

Пусть имеют непрерывные частные производные и удовлетворяют усл.:

y

x

u ́ =v ́

(1)

y

x

v ́ =-u ́

∆z=∆x+i∆y; ∆w=∆u+i∆v

∆ρ=׀∆z׀

y

x

w ́ =lim ∆w/ ∆z=lim (∆u+i∆v)/(∆x+i∆y)= lim (u ́ ∆x+u ́ ∆y+α(׀∆z׀) ׀∆z׀

y

∆z→0 ∆z→0 ∆z→0

x

x

x

x

x

+i(v ́ ∆ x+ v ́ ∆ y+β(׀∆z׀)׀∆z׀))/(∆x+i∆y)=lim ((u ́ +iv ́)∆x+(iu ́-v ́) ∆y+(α+iβ)∙

∆z→0

x

x

x

x

׀∆z׀)/(∆x+i∆y)=u ́+iv ́+lim (α+iβ)∙ ׀∆z׀/∆z=u ́+iv ́

			x		x

x

x

w=e =e∙e =e (cos y+isin y)=e cos y+ie sin y

x

x

u ́=e cos y v ́=e sin y

u ́=- e sin y v ́=e cos y

	x		x

z

z

w ́=e cos y+ie sin y=e =e

(e) ́=e

w=f(τ(z))

z→z+∆z=> τ→ τ+ ∆τ=>w→w+ ∆w

∆w/ ∆z=(∆w/∆τ)(∆τ/∆z)

τ

z

z

w ́=w ́∙τ ́ w ́=f ́(τ())∙τ ́(z)