Криволинейный интеграл 2го рода

непр.на AB

- на плоскости

-крив. инт. по кривой

- положит. Направление

- отр. Направление

Если мы задаём кривую

Физический смысл:

Работа на прямолинейном участке пути.

Формула Гриля

-непр. В области по H и за его пределами

Рассмотрим:

- площадь области

Пример:

Исследование ряда Дирихле

1.

Пример:

2.

Знакопеременные ряды

Теорема(об абсолютной сходимости): Если ряд (2) сходится, то и ряд (1) тоже сходится.

Доказательство:

Рассмотрим частичную сумму:

Ряд (2) сходится, то есть существует

Примечание – обратное неверно. Например:

Теорема(Лейбница):

Доказательство:

Теорема доказана.

Вывод: погрешность при вычислении суммы знакочередующегося ряда не превосходит первого отброшенного члена.

Свойство №1:

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов и сумма при этом не меняется.

Свойство№2:

Если ряд сходится условно, то при перестановке членов его может стать равной любому числу, а также можно сделать его расходящимся.

Примеры:

Функциональные ряды

Определение: Множество значений х, при которых ряд (1) – сходится, называется областью сходимости ряда.

Примеры:

Ряд (1) называется мажорируемым на , если существует числовой положительный сходящийся ряд , при этом (2) называют мажорантой (1).

Мажорируемый ряд сходится абсолютно.

Теорема(о почленном интегрировании функционального ряда):

Пусть ряд (1) мажорируем на , тогда его можно почленно интегрировать на любом вложенном в .

Теорема№1(о непрерывности функционального ряда)

Теорема№2(о почленном интегрировании функционального ряда):

Доказательство:

Требуется доказать

Теорема№3(о почленном дифференцировании функционального ряда):

Доказательство:

Степенные ряды (это обобщение многочлена)

Теорема(Абеля):

1)Пусть ряд (1) сходится при

2)Пусть ряд (1) расходится или сходится условно при

Доказательство:

Теорема доказана.

Пусть А – множество точек сходимости ряда

Supremum – точная верхняя грань; infinum – точная нижняя грань.

Если К>0 и ряд сходится абсолютно на (-К,К); если x<-K и x>K, то ряд расходится.

Если К=бесконечности, то ряд сходится абсолютно на всем числовой оси.

Если Л=0, то ряд сходится только при x=0.

Интервал сходимости степенного ряда

Исследуем абсолютную сходимость

(конец первой темы)

Обобщенный степенной ряд.

(1) (-R,R)

R=

(2)

x-a=t

R=

- |x-a| < R - > сходится абсолютно

- R< x-a < R - // -

a-R < x < a+R -> сходится абсолютно

x < a-R, x > a+R -> расходится

a-R a a+R

1) 2(x-1) -

R= lim | | =

|x-1| <

- интервал сходимости.

- > сходится

область сходимости

2)

R=lim 1 = 1 (-1,1) – интервал сходимости.

x =1 1+1+….. -> расходится

x = -1 1-1+….. ->сходится

(-1,1) – область сходимости

3) - > интервал сходимости и область сходимости

R= = n +1 =

4)

R= = = = 0

x=3 – область сходимости.