Геометрические приложения определенного интеграла

I Площадь области

1.Площадь криволинейной трапеции (явное задание функции)

y=f(x) – непр на [a,b], f(x) ³0

b

a

s=xy a=x0 < x1 <xn<b, n→¥

n

Sn=Sf(ci) Dxi;

i→¥

B

S= ∫ f(x)dx – площадь криволинейной трапеции, если функция не «–»

y=f(x)(<0)

a

b S=∫(–f(x))dx a

c Sкр трап=S1+S2+S3=∫f(x)dx+ a

например

y=x2

y=√x

1 1

S= ∫ (√x – x²)dx=(2/3x^3/2 – 1/3x³) =1/3

0 0

2. Площадь кривой трапеции (параметрическое задание функции).

t1<t £ t2

b b2

S=òf(x)dx=ò y(t) φ ´ (t)dt; x= φ(t); φ:[t1,t2] ®[a,b]; R= φ(t1); b= φ(t2)

a b1

t2 t2

S=òy(t) φ ´ (t)dt; x= φ(t); S=ò ydx

t1 t1

Площадью криволинейной трапеции называют предел [a,b] к которому стремится площадь ступенчатой фигуры,... из прямоугольников, где n®¥.

Если предел существует, то область наз-ся квадрируемой.

Например:

t2

S=ò y x ´ dt

t1

найти площадь ограниченной кривой

0 £ x £ a ó π/2 ³ t ³ 0

0 0 π/2 π/2

S=4ò bsint(a cost) ´ dt=-4abòsin2 tdt=2abò(1-cos2t)dt=2ab(t-(sin2t/2)) = 2abπ/2= πab

π/2 π/2 0 0

3. Площадь криволинейного сектора (кривая в полярных координатах).

n β

Sn=å1/2r²(qi)Dji; Sкр сект =1/2ò r²(j)dj; α=j0<j1<...<jn= β;

i=1 α

ji-1£qi£ji, i=1,...,n; Dji=ji - ji-1;

Sсектора=1/2r² α

Например. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r=a(1-cosj)

Кардиоида

π π π π π

S=2*1/2òa²(-cosj)²dj=a²ò(1 – 2cosj+ cos2j)dj= a²(j – 2sinj +1/2ò(1+cos²j)dj=

0 0 0 0 0

π π π

=a²(j +1/2j +(sin2 j/4))=a³–3π/2

0 0 0

Длина дуги кривой.

1. Кривая задана явно.

n

ℓ=S Ai-1Ai

i=1

Длинна кривой – это предел длины вписанной ломанной, когда длина наибольшего звена стремится к нулю.

Если этот предел существует, то кривая называется спрямляемой.

Теорема.

y=(x)- непр. Деф-ма на [a,b], т.е. производная тоже не прерывна.

=> AB спрямляема (A(a,f(a), B(f(b))

b

L=∫√1+(f′(x)²dx

a

Док-во:

Ai-1 Ai =√∆xi²-∆yi²=√1+(∆yi/∆xi)² ∆xi=√1+(f(xi)-f(xi-1))/(xi-xi-1) ∆xi =f(xi)-f(xi-1) =

f′(Ci)(xi-xi-1)= √1+(f′(Ci))² ∆xi

n

ℓ=S √1+(f′(C i))² ∆xi - интегральная сумма для этой функции.

i=1

Переходя к пределу получаем формулу

b

L=∫√1+(f′(x)²dx

a

например найти длину окружности.

x²+y²=r² →y=√r²-x², y′= – x/(√r²-x²)

r r r

L=4∫√(1+(x²/(r²-x²))dx=4r∫dx/(√(r²-x²))=4r arcsin(x/r) =4rπ/2=2πr

0 0 0

2. Кривая задана параметрически.

x=x(t) непр. Диф-мы на [t1,t2] x=x(t)→t=t(x)

y=y(t) y=y(t) = y(t(x))=f(x)

t1≤ t ≤ t2 a=x(t1) b=x(t2)

b t2 t2

L=∫√1+(f′(x)²dx=∫ √(1+(y′(t)/x′(t))² x′(t)dt=∫ √(x′(t))²+ (y′(t))²dt;

a t1 t1

x=x(t); dv=x′(t)dt; f′(x)=y′x =y′(t)/x′(t);

t2

L=∫√(x′(t))²+ (y′(t))²dt;

t1

t2

L=∫√(x′(t))²+ (y′(t))²dt;

t1

L=∫√(x′)²+ (y′)²dt=√(dx²+dy²)=ds – диф-ал дуги – длина элементарных участков дуги

Например

Найти длину дуги x=a cos³t

y=a sin³t

π/2

L=4∫√((a cos³t)′)²+((a sin³t)′)²dt=

π/2 π/2

= –4∫√(3a cos²t sint)²+(3asin²t cost)²)dt=12a∫√(cos⁴t sin²t+sin⁴ cos²t)dt=

0 0

π/2 π/2 π/2

=12a∫ cost sint dt=6a∫sin2t dt= –3a cos2t | =6a

0 0 0

3. Кривая задана в полярных координатах.

x=r cosφ r=r(φ) x= r(φ) cosφ

y=r sinφ y=r(φ) sinφ α≤φ≤β

β

L=∫ √(x′)²- (y′)²dφ

a

x′=r′ cosφ – r sinφ

y′= r′ sinφ+r cosφ

(x′)²+(y′)²=(r′ cosφ – r sinφ)²+(r′ sinφ+r cosφ)²=(r′)²+r²

β

L=∫ √(r′(φ))²+(r(φ))²dφ

a

r=a(1-cosφ)

например

π π π

L=2∫√a² sin²φ+a²(1-cos²φ)²dφ=2a∫√ (sin²φ+1-2cosφ+cos²φ) dφ=2a∫√(2(1-cosφ))dφ=

0 0 0

π π

=4a∫ sin(φ/2)dφ= -8a cos(φ/2) = 8a

0 0

ОБЪЁМ ТЕЛА

1. Объём тела при известной площади поперечного сечения

V_ступ =

За объем тела принимается предел, к которому стремится объём ступенчатого тела.

V =

2. Объём тела вращения (вокруг О_x)

y

y

y

y

3. Объём тела вращения (вокруг О_y)

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Несобственные интегралы 1 ряда (с бесконечными пределами)

2. Несобственные интегралы 2 ряда (от разрывных функций)

1)

f(x) определена на [a, ]

2. f(x) определена на [a, b],

, p>0

p>1

0<p<1 …………………………………………….=

P=1

0<p<1 сх.

p>1…………………………………………….= (расх.)

p=1

Теоремы сравнения

Т.1

F(x), g(x)- непр. на [0, ]

сх.

=> сх. причём,

Т.1^|

F(x), g(x)- непр. на [a, b]

сх. => сх. причём,

Теорема об абсолютной сходимости

Т.2

F(x)- непр. на [a, ]

сх.

=> сх. причём

Т.2^|

F(x)- непр. на [a, b]

сх.

=> сх., причём

сх. => сх. => сх.

сх.

расх.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

f(x, y) определена в D

M_i(x_i, y_i) D_i

D_i=

D=S

так, чтобы max diam D_{i 0}

Предел не зависит от разбиения.

Т. F(x, y) непрерывна в D => f(x, y) интегрируема в D.

Свойства ч-ного интеграла:

1. (Линейность)

2. (Аддитивность)

D=D₁ D₂

3. f(x, y) g(x, y) =>

3.1 m f(x, y) M

3.2 f(x, y) 0 =>

4. f(x, y)>0 => (S>0)

5.

6. (Теорема о среднем)

F(x, y) непрерывна в D.

=> P(x₀, y₀) D

Доказательство

m- наим. f(x, y) в D

M- наиб. f(x, y) в D

m f(x, y) M =>

mS

m

p D | f(p)=

F(p)=

Повторный интеграл

Обл. D называется правильной в направлении оси y, если любая прямая || оси у, проходящая через внутреннею точку области D пересекает границу области ровно в 2х точках.

Пусть непр. в D

- непр. в D, и - непр. - тоже непр.

Свойства двукратного интеграла:

1. Если провести область вертикальными или горизонтальными прямыми разбить на части, то полученные части тоже будут правильными областями, причем S=S+S

1. (т.о среднем)

- непр. в D

- промежуточное значение

Теорема (о равенстве двойного и двукратного интеграла)

непр. в D прав. в напр. Oy.

Доказательство:

Следствия:

Если обл. D-прав, то справедливо равенство

- формула переменного пор-ка интегрирования.