Формула Ньютона-Лейбница

X

∫ f(t)dt – первообразная f(x), F(x) – любая первообразная f(x)

a

x ∫f(t)dt = F(x) +C a

подставляем вместо x,a

A

∫ f(x)dt=f(a)+C

A

0= f(a)+C

C= - f(a)

X

∫ f(t)dt = F(x) – F(a) x=b

a

B

∫ f(t)dt = F(b) – F(a)

a

b b

∫ f(x)dx = F(x) = F(b) – F(a)

a a

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема:

y=f(x) непр на [a,b]

x=φ(t) непр на [α,β]

φ(t): [α,β] → [a,b], a= φ(α), b= φ(β),=>

b β

∫ f(x)dx = ∫ f(φ(t)) φ ´ (t)dt

a α

Док – во:

∫ f(x)dx = ∫ f(φ(t)) φ ´ (t)dt

если F(x) – первообр. для f(x), то

F(φ(t)) – первообр. для f(φ(t)) φ ´ (t)

B

∫ f(x)dx = F(b) – F(a)

a

β

∫ f(φ(t)) φ ´ (t)dt = F(φ(β)) – F(φ(α)) = F(b) – F(a)

α

например:

3 π/2 π/2 π/2 π/2

∫ √9-x2 dx= ∫ √9-9sin 2t 3cost dt=9 ∫ cos2t dt= 9/2 ∫ (1+cos2t)dt=9/2(t+(sin2t)/2) =9π/4

0 0 0 0 0

замена

x=3sint y=√9-x2

dx=3costdt y2=9-x2

x=0→t=0 x2+ y2=9

x=3→t= π/2

Интегрирование по частям в опред интеграле.

Теорема

u(x), v(x) непр,дифф-ма на [a,b] =>

b b b

∫ udv = uv – ∫ vdu

a a a

Док – во:

d(uv)=udv +vdu

B b b

∫ d(uv) = ∫ udv+ ∫ vdu

a a a

b b b

uv = ∫ udv+ ∫ vdu,

a a a

b b b

∫ udv = uv – ∫ vdu

a a a

например

π/2 π/2 π/2 π/2 π/2

∫ xcosx dx= ∫ xdsinx=xsinx – ∫ sinxdx=π/2+cosx = π/2 – 1

0 0 0 0 0

дополнительные св-ва интегрела

e e

1) f(x) – чет => ∫ f(x)dx=2 ∫ f(x)dx

-e 0

Док-во:

e 0 e 0 e e e e

∫ f(x)dx= ∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx= ∫ f(–t)(–dt)+ ∫ f(x)dx= ∫ f(t)dt+ ∫ f(x)dx=2 ∫ f(x)dx

-e -e 0 e 0 0 0 0

x= –t x= –e →t=e

dx=dt x=0 →t=0

e

2) f(x) – нечет => ∫ f(x)dx=0

-e

Док – во:

e 0 e 0 e e e

∫ f(x)dx= ∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx= – ∫ f(–t)(–dt)+ ∫ f(x)dx= – ∫ f(t)dt+ ∫ f(x)dx=0

-e -e 0 e 0 0 0

x= –t x=e →t=e

dx=dt x=0 →t=0

T a+T

3) f(x) – T-периодическая => ∫ f(x)dx= ∫ f(x)dx " a

0 a

(f(x+T)=f(X))

Док – во:

a+T 0 T a+T 0 T a

∫ f(x)dx= ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx= ∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx+ ∫ f(t+T)dt=

a a 0 T a 0 0

a T a T

= – ∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx+ ∫ f(t)dt= ∫ f(x)dx

0 0 0 0

x= t+T x=T →t=0

dx=dt x=a+T →t=a

например:

2π π

∫ (sin5 xcos34x+cos⁶3x sinx+cosx)dx= ∫ (sin5 cos34x+cos⁶3x sinx+cosx)dx=

0 нечетная нечетная четн 0

π π

2 ∫ cosxdx=2sinx =0

0 0