Числовые последовательности и их приделы

Понятие числовой последовательности ограниченные и монотонные последовательности.

- называется числовая последовательность, то есть эта функция с областями определена N и множество значений R

Тогда числовая последовательность записывается в виде

В дальнейшем числовую последовательность будем называть последовательность действительного числа, а - числами числовой последовательности или ее элементами, - общий член (n - численность).

Среди членов числовой последовательности могут быть повторяющиеся, обозначаются через Е () – множество различных членов для последовательности .

Определение: Последовательность - называется ограниченной, если существует (*)

Определение: Последовательность - ограничение снизу (сверху), если

Определение: Последовательность - является ограниченной, если она ограничена снизу и сверху (**)

Теорема: Определения (*) и (**) эквивалентны.

1) Доказательство

Пусть: последовательность (*)

Пусть последовательность ограничено (*), тогда по свойству модулей , если p = – M, а q = M следует что ; следствие определение ограниченно по определению (**)

2) Мmax = { p, q }

Построим отрицание определенное ограниченной последовательностью (*)

- определено неограниченной последовательностью.

Определение: Последовательность - называется

1) возрастающая

2) убывающая

3) неубывающая

4) невозрастающая

Если для 1)

2)

3)

4)

Последовательности вида (1) и (4) – называются монотонными, а (2) и (3) – строго монотонные.

1) - не монотонная, ограниченная

2) - монотонно возрастающая, ограниченная т.к.

3)

а) если q > 1 – возрастающая, не ограниченная

б) если | q | < 1 – убывающая, ограниченная и стремится к нулю