Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1. Найти область определения и область значения функций:
1) 2)
Решение.
1) Область определения задаётся условием: или , то есть представляет собой область вне эллипса с центром в начале координат и с полуосями и . Областью значений является промежуток .
2) Функция должна удовлетворять условиями: . Учитывая эти условия, зададим её явно, выражая через . Для этого обе части равенства возведём в квадрат и решим квадратное уравнение относительно переменной : . Получаем и . Первое решение удовлетворяет поставленным условиям, а второе не удовлетворяет. Следовательно функция однозначно представляется в виде . Кроме того при любых значениях значениях , поэтому областью определения является вся числовая прямая. Областью значений функции является промежуток .
2. Построить линии уровня функции:z = min(x, 3y)
Решение. Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, таких, что во всех эти точках значение функции одно и тоже. Построим три линии уровня функции для , , .
Решение. Чтобы найти частную производную по , считаем постоянной величиной. Таким образом, . Аналогично, дифференцируя по , считаем постоянной, то есть .
Дифференциал функции определяется формулой . Поэтому .
4. Найти частные производные сложной функции: , , .
Решение. Найдём частные производные функций и по переменным и : , , , . Тогда
;
.
5. Найти производную функции по направлению:
1) вектора ; 2) градиента .
Решение. 1) Производная функции по направлению вектора вычисляется по формуле .
Найдём частные производные: , . Тогда
.
2) Градиентом функции называется вектор с координатами . Вычислим координаты заданного градиента
.
Тогда
.
6. Найти экстремум функции двух переменных z = x 3 + y 3 – 3 ху.
Решение. 1) Найдем частные производные данной функции по х и по у (z ’ x и z ’ y). Для нахождения частной производной по х надо считать переменную у постоянной (у = const), а для нахождения производной по у –переменную х постоянной (х = const). При этом сохраняются основные правила дифференцирования.
z ’ x = 3 x 2 – 3 у; z ’ y = 3 y 2 – 3 х.
2) Находим критические точки функции, решив систему уравнений
=> 2 критические точки (0; 0) и (1; 1).
3) Найдем частные производные второго порядка:
z ’ x = 3 x 2 – 3 у => z”xх = 6 x; z”xy = – 3;
z ’ y. = 3 y 2 – 3 х => z”ух = – 3; z”уy = 6 у.
Вычислим их значения в каждой критической точке и составим матрицу Гессе.
В точке (0; 0): . Так как определитель этой матрицы отрицателен, то в точке (0; 0) экстремума нет. (Эта точка является седловой).
В точке (1; 1): . Матрица Гессе в точке (1; 1) положительно определена, поэтому точка (1; 1) является точкой минимума.
4) Найдем экстремум функции zmiп = z (1; 1) = 13 + 13 – 3∙1∙1 = –1.
Ответ: Минимальной значение функции z = x 3 + y 3 – 3 ху равно –1 (zmiп = –1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов./ Н.Ш.Кремера и др. – М.: ЮНИТИ, 2003.- 471 с.
2. Общий курс высшей математики для экономистов / Под ред. В.И.Ермакова.-М.: ИНФРА-М, 2004.- 656 с.
3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. Учебник: в 2-х частях. Ч.1,2. - М.: Финансы и статистика, 1999.- 224с.
Подписано в печать 30.01.06. Формат 60х90 1/16
Гарнитура Times ET, 10. Усл. печ. л. – 3,8.
Тираж 200 экз.
Типография «Таглимат» ИЭУиП,
лицензия № 172 от 12.09.96 г.
420108, г. Казань, ул. Зайцева, д. 17.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 437 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!