Производная сложной функции

Если у есть функция от и: у = f(u), где и в свою очередь есть функция от аргумента х: u = φ(x), т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент и, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции): y = f(φ(x)).

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:

y’_x = y’_u u’_x

Таблица производных:

№	Функция у	Производная у’
	С
	X
	un	n∙un-1∙ u’
	eu	eu∙u’
	au	au ∙ln a ∙ u’
	ln u
	loga u
	sin u	cos u∙u’
	cos u	– sin u∙u’
	tg u
	ctg u
	arcsin u
	arcos u	–
	arctg u
	arcctg u	–

1. Найти производную функций:

а) у = х + 2; б) y = (2 x – 3)(3 x + 2); в) у = ; г) у= ;

д) у = (x ³ – 2 x ² + 5)⁶; е) ; ж) ; з) y = tg(3 x ² – 1);

и) .

Решение. а) у = х + 2.

Используя правило дифференцирования (3) и формулы (1), (2), имеем:

у' = (x + 2) ’ = (x) ’ + (2) ’ = 1 + 0 = 1.

б) y = (2 x – 3)(3 x + 2).

y’ = ((2 x – 3)(3 x + 2)) ’ = (2 x – 3) ’ ∙(3 x + 2) + (2 x – 3)∙(3 x + 2) ’ = 2∙(3 x + 2) +

+ (2 x – 3)∙3 = 12 x – 5. Здесь мы использовали правило дифференцирования (5).

в) у = .

Используя правило дифференцирования (7), имеем у’= =

= .

г) у = .

Найдем производную, используя правило дифференцирования (4) и

формулу (3).

у' = .

д) у = (x ³ – 2 x ² + 5)⁶.

Пусть x ³ – 2 x ² + 5 = и, тогда у = и ⁶. По формуле (3), получим у’ = (и ⁶) ’ = 6 u ⁵∙ u’ = 6(x ³ – 2 x ² + 5)⁵∙(x ³ – 2 x ² + 5) ’ = 6(x ³ – 2 x ² + 5)⁵∙(3 x ² – 4 x).

е) .

По правилу дифференцирования (7) и формуле (10) получим:

= .

ж)

Используя формулы (4) и (10), имеем:

.

з) y = tg(3 x ² – 1).

По формуле (12) имеем:

y' = (tg(3 x ² – 1)) ’ = .

и) .

По формуле (8), а также (3), (4), (5) имеем:

=

= .

2. Найти производную неявно заданной функции .

Решение. Будем считать переменную y, функцией от x и дифференцировать её по правилу дифференцирования сложной функции, а переменную x – независимой переменной. Имеем . Из последнего равенства выразим .

3. Найти предел, используя правило Лопиталя: .

Решение. Имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя (если имеется неопределенность вида или , то ), получим:

= . Неопределенность вида по-прежнему сохраняется. Применим правило еще раз:

= .

Ответ: 1.

4. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции tg 46⁰.

Решение. Для приближенных вычислений воспользуемся формулой:

.

Положим f(x) = tgx. Найдем производную f’(x) =(tgx) ’ = . Тогда . Учитывая, что tg 46⁰ = tg (45⁰ + 1⁰) = = tg , возьмем х = и Δ х = .

Тогда tg 46⁰ = tg .

Ответ: tg 46⁰ 1,035.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х ³ – 12 х на отрезке [0, 5].

Решение. Сначала найдем производную функции: у’ = 3 х ² – 12.

Затем найдем критические точки, т.е. точки, в которых у’ = 0 или не существует: 3 х ² – 12 = 0, откуда критические точки х ₁ = –2, х ₂ = 2. Точка х ₁ = –2 не принадлежит отрезку [0, 5], поэтому мы исключаем ее из рассмотрения.

Вычислим значения функции в критической точке х ₂ = 2 и на концах интервала и выберем из них наибольшее и наименьшее: у (2) = – 16, у (0) = 0, у (5) = 65.

Ответ: Т.о. наибольшее значение функции на отрезке [0, 5] равно 65, наименьшее равно –16.

6. Исследовать функцию у = и построить ее график.

Решение. а) Найдем область определения функции.

Областью определения этой функции является вся действительная ось, за исключением двух точек х ₁ = –2 и х ₂ = 2, в которых имеет место разрыв (знаменатель х ² – 4 = 0). Т.о. область определения: (-∞; -2)U(-2; 2)U(2; +∞)

б) Исследуем функцию на четность-нечетность.

Функция четная, т.к. у(-х) = = у(х). Четность функции определяет симметрию ее графика относительно оси Оу.

в) Найдем вертикальные асимптоты графика функции.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на границе ее области определения. Точками разрыва являются х ₁ = –2 и х ₂ = 2.

Вычислим пределы функции в окрестностях этих точек.

Предел слева , предел справа .

Аналогично , .

Следовательно, прямые х = –2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами функции.

г) Найдем горизонтальные или наклонные асимптоты графика функции.

Для этого вычислим пределы: и . Откуда (по формуле y = kx +b) заключаем, что уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: y = 0 x + 1, т.е. у = 1.

д) Найдем экстремумы и интервалы монотонности.

Производная заданной функции у’ = равна нулю (у’ = 0) при х= 0 и не существует при х = ±2. Но критической является только точка х= 0 (т.к. значения х = ±2 не входят в область определения функции). Поскольку при x < 0 f’(x) > 0, а при x > 0 f’(x) < 0, то х= 0 – точка максимума функции и f _mах (x) = = – 1.

На интервалах (-∞; -2) и (-2; 0) y' + –

функция возрастает, на интервалах -2 0 2 x

(0; 2) и (2; +∞) –. убывает y

е) Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба.

Для этого надо найти вторую производную функции у’’ = . Видно, что уравнение у’’ = 0 не имеет действительных корней, и это исключает существование у графика точек перегиба. Вместе с тем по корням знаменателя (-2 и 2) можно установить, что при переходе через эти значения х знаки у’’ меняются.

На интервалах (-∞; -2) и (2; +∞) y” + – +

функция выпукла вниз, на интервале -2 2 x

(-2; 2) – выпукла вверх. y

ж) Найдем точки пересечения с осями координат.

f(0) = = – 1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0; -1). Уравнение f(х) = 0, (т.е. = 0), решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

На основании полученных данных построим график заданной функции.

у

-2 2 х

-1

Практическая работа № 3.