III. Решение типовых примеров

Практическая работа №1.

1. Найти .

Решение. Такого типа примеры решаются переводом иррациональности из числителя в знаменатель и, наоборот, из знаменателя в числитель. Здесь мы имеем предел разности двух положительных бесконечно больших величин («неопределенность типа [¥–¥]»). От этой неопределенности избавимся, дополнив функцию до разности квадратов:

= = = .

Следовательно, =

Ответ: 0.

2. Найти .

Решение. Функция при х =1 не определена («неопределенность типа »), и, следовательно, не является непрерывной в этой точке. Но при всех других значениях х .

Полученная функция определена и непрерывна в точке х =1, поэтому

= = .

Ответ: .

3. Найти

Решение. Здесь требуется найти предел отношения двух бесконечно больших величин. О таком пределе заранее ничего определенного сказать нельзя («неопределенность типа »). Преобразуем функцию под знаком предела, вынося за скобки х в старшей степени, и используем свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. Тогда имеем:

= = == = 0.

Ответ: 0.

4. Найти .

Решение. Так как (первый замечательный предел), то .

Следовательно, =

Ответ: .

5. Найти .

Решение. Так как х →p, а не к 0, то применить сразу первый замечательный предел нельзя. Поэтому произведем замену переменной: p–х = у, откуда х = p– у. Тогда при х →p у →0, используя то, что

= = .

Ответ: .

6. Найти .

Решение. Выделим у дроби целую часть: .Чтобы использовать второй замечательный предел (или ), обозначим . Тогда при х →∞ у →0, причем . Т.о. = .

Ответ: .

7. Найти односторонние пределы функции в точке .

Решение. При , поэтому .

При , поэтому .

8. Исследовать непрерывность функции .

Решение. Найдём предел . Заметим, то согласно определению функции . Следовательно, ,то есть данная функция в точке терпит разрыв.