Справочный материал

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если (F(x))’ = f(x).

Первообразная определена неоднозначно: если F(x) – первообразная для функции f(x), то F(x)+C – также первообразная для данной функции.

Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается , где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная (С = const), - знак операции интегрирования, d – знак операции дифференцирования.

Свойства неопределенного интеграла:

1. , где с = const.

2. .

3. .

Таблица 1 (неопределенных интегралов)

1. 2. 3. n ≠ –1; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. ; 10. 11. ; 12. (| x |< a, a ≠0); 13. (a ≠0); 14. (| x |≠ a, a ≠0); 15. .

1. Найти неопределенный интеграл:

а) .

Решение.Чтобы найти данный неопределенный интеграл, воспользуемся методом разложения, который заключается в разложении подынтегральной функции на сумму функций и использовании свойств неопределенного интеграла 1 и 2.

= = =(св-во2) = = (св-во 1) = =(используем формулы 3 и 4 из таблицы 1 н.и.)= =

= .

Ответ: = .

2. Найти неопределенные интегралы методом замены переменной:

а) ; б) ;

а) Данный интеграл вычисляется методом замены переменной (линейная замена). Обозначим выражение в скобках через t: 3 х – 1 = t, тогда d (3 х – 1)= dt => 3 dх = dt => .

= = = (по формуле 3 из таблицы 1 н.и.) = = = = .

Ответ: = .

б) Здесь при вычислении интеграла используется также метод замены переменной (нелинейная замена).

= = = = = (используем формулу 4 из табл.1 н.и.) = = .

Ответ: = .

3. Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение.Формула интегрирования по частям имеет вид: .

Этот метод применяется для двух групп интегралов:

I. ; ; (где m =const). В этой группе в качестве u выбирают х, а остальная часть подынтегрального выражения принимается за dv (u = x).

II. ; ; ; ; (где m =const). В этой группе xdx = dv.

В нашем случае интеграл относится к первой группе интегралов, поэтому в качестве u возьмем 5 х – 2 (u = 5 х – 2), а dv = e ^{3 x} ∙ dx.

= =

(по формуле интегрирования по частям) = =

= .

Ответ: = .