Теорема о структуре общего решения однородной системы

Общее решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию решений фундаментальной системы решений.

.

Доказательство. Проверим, что является общим решением, исходя из определения общего решения.

1) - решение однородной системы как линейная комбинация ее решений (теорема о свойствах решений).

2) Зададим произвольные начальные условия и покажем, что можно единственным образом выбрать набор констант , при котором . Запишем это соотношение покоординатно как систему уравнений относительно .

..........................................

Определитель этой системы равен , так как решения линейно независимы. Поэтому набор констант определяется из системы уравнений единственным образом. Теорема доказана.

Следствие. Общее решение однородной системы можно записать в виде

.