Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Автономные системы и свойства их решений



Система называется автономной, если в ее правую часть не входит явно независимая переменная: .

Решение автономной системы можно рассматривать в пространстве координат , которое принято называть фазовым пространством. Проекция интегральной кривой на это пространство называется фазовой траекторией (или просто траекторией). Вообще говоря, любую систему можно сделать автономной, вводя дополнительную фазовую координату – независимую переменную и дополнительное уравнение . Фазовое пространство такой системы принято называть расширенным фазовым пространством.

Свойства решений автономных систем.

1) Если - решение системы, то и тоже решение.

.

Следствие. Фазовая траектория - это та же фазовая траектория, что и .

В самом деле, любая точка первой фазовой траектории является точкой второй фазовой траектории и наоборот.

2) Две фазовых траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Пусть две различных фазовых траектории имеют общую точку . Рассмотрим решение .

. Следовательно, по теореме Коши . Но - это траектория , сдвинутая на по аргументу. По следствию, обе фазовые траектории являются одной фазовой траекторией.

Следствие. Множество фазовых траекторий автономной системы в фазовом пространстве представляет собой совокупность непересекающихся кривых.

Точка называется точкой покоя (точкой равновесия) автономной системы, если .

3) Если точка - точка покоя, то - решение системы.

В самом деле, .

4) Любая фазовая траектория автономной системы есть траектория одного из трех типов:

- гладкая, не самопересекающаяся кривая,

- замкнутая гладкая кривая,

- точка покоя.





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 481 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...