Метод вариации произвольной постоянной

Общее решение однородной системы можно записать в виде

, где - фундаментальная матрица системы, - вектор произвольных постоянных.

Будем искать решение неоднородной системы в том же виде, варьируя вектор произвольных постоянных:

.

Вычисляем производную и подставляем в уравнение неоднородной системы:

,

,

Так как фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению однородной системы, то . Поэтому в предыдущем уравнении (как и всегда в методе вариации) сокращается пара слагаемых. Получаем уравнение

. Так как фундаментальная матрица не вырождена (), то отсюда получаем уравнение для определения вектора :

.

Интегрируя, получаем

(здесь предполагается, что при вычислении интеграла вектор констант не добавляется, он уже добавлен в виде вектора ).

Подставляя в , имеем

() .

Здесь в полном соответствии с теоремой о структуре общего решения неоднородной системы первое слагаемое представляет собой общее решение однородной системы, а второе слагаемое – частное решение неоднородной системы.