РЕШЕНИЕ. Характеристическое уравнение есть:

Характеристическое уравнение есть:

.

Находим его корни:

.

Поскольку корни комплексные, общее решение общее решение имеет вид:

.

В нашем случае , . Следовательно:

.

Теперь рассмотрим нахождение частного решения неоднородного уравнения (9). Для поиска частного решения неоднородных уравнений рассмотрим метод неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов применяется в тех случаях, когда в правой части уравнения стоит функция определенного вида. Мы рассмотрим три наиболее простых случая.

· Правая часть уравнения имеет вид: ,

где - многочлен (полином) степени n, a - произвольное действительное число.

В этом случае частное решение ищется в виде: ,

где r - число корней характеристического уравнения, равных a. (отметим, что r может принимать значения 0,1 или2)

Выпишем для справки явный вид многочленов с неопределенными коэффициентами, для наиболее употребительных значений n:

,

,

,

,

и т. д.

· Правая часть имеет вид: , где a, b, - заданные числа.

В этом случае частное решение ищется в виде: ,

где А, В - неопределенные коэффициенты; r - число корней характеристического уравнения, равных . (Отметим, что r может в этом случае быть равном 0 или 1).

Все три типа частных решений содержат неизвестные коэффициенты, которые подлежат определению. Для этого указанные формулы подставляются в исходное уравнение, а затем приравниваются коэффициенты при одинаковых слагаемых и решается полученная система уравнений (см. разобранные ниже примеры).

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .