РЕШЕНИЕ. Найдем сначала общее решение однородного уравнения

Найдем сначала общее решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Его корни: , , действительные и различные, следовательно, общее решение однородного уравнения есть:

.

Теперь определяем вид частного решения неоднородного уравнения.

Правая часть , т.е. , n=2, и . . Определим число r, равное числу корней характеристического уравнения, равных числу . Так как нет корней характеристического уравнения, равных числу , то r=0. Следовательно, частное решение будем искать в виде:

.

Дважды дифференцируя полученное равенство, найдем:

, .

Подставляя , и в исходное уравнение, получаем:

.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые степени по : .

Для нахождения А, В, С мы должны приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях равенства. В правой части присутствует только член , это означает, что коэффициенты при остальных степенях равны нулю, а коэффициент при квадратичном члене соответственно равен 1. Приравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:

.

Откуда

, , .

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения есть:

.

Суммируя и , получим общее решение неоднородного уравнения:

.

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .