Дифференциал

Если функция y = f(x) дифференцируема на некотором отрезке, то производная принимает определенные значения. Отношение Dу/Dх при Dх ® 0 можно представить в виде где a ® 0 при Dх ® 0. Умножая равенство на Dх получим Dу = f `(x) Dx + aDx. В общем случае f`(x) ¹ 0 и произведение f `(x) Dх есть величина бесконечно малая одного порядка с Dх, а aDх – бесконечно малая высшего порядка. Первое из двух слагаемых (f`(x) Dх) называют главной частью приращения функции, линейной относительно Dх, или дифференциалом функции и обозначают dy = f `(x) Dх.

Пусть у = х. Очевидно, что dy = dx и дифференциал независимого переменного совпадает с приращением и можно записать dy = f`(x)dx (3.24).

Производную функции f`(x) = dy / dx можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

То, что в выражении Dу = dy + aDx второе слагаемое является бесконечно малой более высокого порядка, позволяет в приближенных вычислениях использовать следующий алгоритм:

Dу» f `(х)Dх => f (х+Dх) – f (х) @ f `(x) Dх => f (x + Dх) @ f(x) + f `(x) Dх (3.25.),

причем вычисления тем точнее, чем меньше величина Dх.

Пример: Вычислим приближенное значение sin46⁰; 46⁰ = 45⁰ + 1⁰ = p/4 + p/180; Из (3.25) очевидно, что sin(x + Dх)» sin x + Dх cosx и sin 46⁰ = sin (p/4 + p/180) @ sin p/4 + (p/180)cos p/4» 0,7194.

Рис. 3.2

Из (3.24) следует, что большинство теорем и формул, относящихся к производной, справедливы и для дифференциалов. Так

d(u + v) = du + dv (3.26), d(uv) = vdu + udv (3.27) и т.д.

Геометрический смысл дифференциала легко уяснить из рис. 3.2. Возьмем на кривой у = f(x) произвольную точку М(х, у) и проведем касательную. Приращению Dх аргумента соответствует приращение Dу функции и точка М₁(х + Dх, у + Dу). Из треугольника МNT находим NT = MN tg a = Dх f `(x) = dy (по определению дифференциала), т.е. геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке М (х,у).

Аналогично тому, как определяются производные высших порядков, определяются и их дифференциалы. Дифференциал от дифференциала называют дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) и обозначают d(dy) = dy². По определению дифференциала d²y = [f `(x) dx]`dx = f``(x)(dx)², так как dx от х не зависит. Очевидно, таким же образом определяется дифференциал любого порядка dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ; принято записывая порядок дифференциала опускать скобки, т.е окончательно общее выражение примет вид

dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ (3.24').

Тесты

1.10. Если точка в некоторой точке непрерывна, то она в этой точке:

1) Может быть дифференцируема;

2) Дифференцируема;

3) Не дифференцируема.

1.11. Если функция в точке дифференцируема, то она в этой точке:

1) испытывает разрыв;

2) может быть непрерывна;

3) Непрерывна.

1.12. Если , то у ' =

1) ; 2) ; 3) .

1.13. Если , то у ' =

1) ; 2) ; 3) .

1.14. , у ''' =

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

1.15. ; у ' =

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

1.16. ; d ³ x =

1) ; 3) ;

2) ; 4) .