Основные теоремы о пределах

1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных, т.е.

lim (u₁ + u₂ + … + u_n) = lim u₁+ lim u₂+ … + lim u_n

2. Предел произведения определенного числа переменнных равен произведению пределов этих переменных, т.е.

lim (u₁ × u₂ × … × u_n) = lim u₁ × lim u₂ × … × lim u_n

3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. если lim V ¹ 0.

4. Если для соответствующих значений функций u = u(x), z = z(x), v = v(x) выполняются неравенства u £ z £ v и при этом u(x) и v(x) при х ® а (или х ® ¥ ) стремятся к одному и тому же пределу b, то z = z(x) при х ® а (или х ® ¥) стремится к тому же пределу.

Теорема 4 позволяет доказать справедливость важного соотношения, называемого первым замечательным пределом. (2.1)

Из (2.1) следует эквивалентность бесконечно малых х и sin x: sin x ~x.

Удобно пояснить это графически. На рис. 2.3 приведены графики функций у = х и у = sinх. Легко видеть, что чем меньше х отличается от нуля, тем меньше отличие ординат (значений функций) соответствующих графиков, а при х = 0 они совпадают. (Это позволяет с высокой точностью при очень малых х определять приближенное значение sin x).

Еще одно важное соотношение теории пределов, называемое вторым замечательным пределом имеет вид: (2.2)

Число е – иррациональное (также как и число p) и может быть записано в виде бесконечной десятичной непериодической дроби е = 2,71828…; играет важную роль в вычислительной математике, служа, в частности, основанием натурального логарифма, обозначаемого ln x = log_ex. Функцию у = е^х называют экспоненциальной функцией (иногда обозначается как ехр х). В решении задач теории пределов могут быть полезны следующие равенства: . Можно также заменять бесконечно малые

величины эквивалентными им:

Непрерывность функций. Функцию у = f(х) называют непрерывной в точке а если:

1.Эта функция определена в некоторой окрестности точки а и в самой точке;

2.Существует предел функции и он равен значению функции в этой точке, т.е. . Можно предложить и иное определение. Пусть аргумент х₀ получит приращение Dх и примет значение х = х₀ + Dх. В общем случае функция также получит некоторое приращение Dу = f(х₀ + Dх) – f(х₀).

Функцию f(х) называют непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и некоторой окрестности ее и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

(2.3) или (2.3`)

Приведем формулировку теоремы: Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена и получим важное для решения задач теории пределов следствие. Запишем условие непрерывности в виде или, что тоже самое, . Но и, следовательно, (2.4), т.е. для любой непрерывной функции во всех точках области определения ее справедливо соотношение (2.4) – предел функции равен функции предела (символы (и соответствующие операции) предела и функции можно поменять местами): .

Пример:

В ряде случаев удобно использовать следующее соотношение:

.

Говорят, что если функция f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а, b), где a < b, то функция непрерывна на этом интервале. Точка внутри или на границе области определения, в которой нарушается условие непрерывности, называется точкой разрыва. Если существуют конечные пределы и , причем не все три числа b₁, b₂ и f(a) равны между собой, точка а называется точкой разрыва первого рода. Эти точки подразделяются на точки скачка, когда b₁ ¹ b₂ (скачок равен b₂ - b₁) и точки устранимого разрыва, когда b₁ = b₂. Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. В этих точках не существует хотя бы один из односторонних пределов (Пример – “бесконечный” разрыв: ).

Рассмотрим некоторые свойства непрерывных функций (доказательства теорем можно найти в рекомендуемой литературе).

1. Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [a, b], то на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка х = х₁ такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x₁) ³ f(x), где х – любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х₂ такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению

Рис.2.4

f(x₂) £ f(x). Значения f(x₁) = М и f(x₂) = m – наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на этом отрезке. Поясним с помощью рис. 2.4, на котором представлены графки трех непрерывных на [a, b] функций у₁, у₂ и у₃. Легко видеть, что на интервале [a, b] функция у₁ один раз достигает наибольшего М и наименьшего m значений. Функция у₂ во всех точках [a, b] имеет одно и то же значение – оно одновременно и наибольшее и наименьшее. Функция у₃ на [a, b] дважды принимает наибольшее М и наименьшее m значения. Но хоть один раз наибольшее и наименьшее значения принимает каждая из них!

(Отметим, что на интервале (а, b) утверждение теоремы может оказаться неверным. Пример: у = х – функция не имеет на интервале (а, b) наибольшего и наименьшего значений, т.к. не достигает значений а и b!)

х

2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то между точками a и b найдется по крайней мере одна точка х = с, в которой функция обращается в нуль. (Это значит, что график функции хотя бы раз пересечет ось Ох в пределах этого отрезка; х = с – как раз такая точка). На рис. 2.5: графики функций у₁ и у₂ таковы, что на концах интервала [a, b] их ординаты (значения функций) различны. При этом график у₁ пересекает ось Ох один раз, а график у₂ – три раза, но хоть один раз – каждый из них.

3. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения f(a) = A и f(b) = B то, каково бы ни было число m, заключенное между числами А и В, найдется такая точка х = с, заключенная между a и b, что f(c) = m (легко видеть, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3).

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает на нем наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключенное между ее наибольшим и наименьшим значениями.

Тесты

1.4. Функция является бесконечно большой при:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1.5. Функция является бесконечно малой при:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1.6. Эквивалентными (бесконечно малыми) при будут:

1) и ; 3) и ;

2) и ; 4) и .

1.7. Какой из пределов называют «вторым замечательным»:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

1.8. Функция в точке х = -1:

1) Непрерывна;

2) Испытывает разрыв 2^го рода;

3) Испытывает разрыв 1^го рода.

1.9. Если непрерывная функция на концах отрезка [ а; в ] принимает значения разного знака, то ее график:

1) пересекает ось Х один раз;

2) не пересекает ось Х;

3) пересекает ось Х хотя бы один раз.