Экстремум функции двух независимых переменных

Говорят, что функция z = f(x, y) имеет максимум в точке М₀(х₀, у₀), если f(x₀, y₀) > f(x, y) и минимум, если f(x₀, y₀) < f(x, y) для всех точек, достаточно близких к М₀ и отличных от нее. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Экстремумы можно определить и иначе: Положим х = х₀ + Dх и у = у₀ + Dу, тогда f(х + Dх, у + Dу) – f(х₀, у₀) = Df. Если Df > 0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция f(x, y) достигает минимума в точке М₀. Если Df < 0 при всех достаточно малых приращениях аргументов, то функция f(x, y) достигает максимума в точке М_0.

Определения эти справедливы для функций любого числа переменных. Необходимое условие экстремума можно сформулировать так:

Если функция z = f(x, y) достигает экстремума при х = х₀, у = у₀, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Действительно, если функция z = f(x, y) имеет в некоторой точке М₀(х₀,у₀) экстремум, в этой точке имеют экстремум и функции одной переменной z = f(х₀, у) и z = f(х, у₀) и, соответственно, их производные и в этой точке или равны нулю или не существуют. Точки, в которых выполняются эти условия, называются критическими, и в этих точках может быть (а может и не быть) экстремум. Критические точки, в которых z_x` = 0 и z<sub>у</sub>` = 0 называют стационарными. О наличии экстремума в стационарных точках можно во многих случаях судить на основании следующей теоремы:

Если в некоторой области, содержащей точку М₀(х₀, у₀), функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно и точка М₀ является стационарной, то в этой точке:

Функция имеет максимум, если D > 0, а A < 0 или (C < 0)

Функция имеет минимум, если D > 0, а A > 0 или (C > 0)

Функция не имеет экстремума, если D < 0

Если D = 0 – сомнительный случай, требуется дополнительное исследование.

(4.12), где:

Тесты

2.1. Область определения функции :

1) Вся плоскость х О у;

2) 1 и 3 четверти;

3) Круг радиуса 2 с центром в начале координат включая границу;

4) Тот же круг исключая границу.

2.2. , Линии уровня представляют собой:

1) Окружности; 3) гиперболы;

2) Эллипсы; 4) Параболы.

2.3. частная производная =

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2.4. ;

1) ; 2) ; 3) 0; 4) .

2.5. ; Уравнение касательной плоскости, проведенной к заданной поверхности в точке М(1; 2; ) имеет вид:

1) ;

2) ;

3) .

2.6. ; Уравнение нормали, проведенной к заданной поверхности в точке N(1; 2; 1) примет вид:

1) ;

2) ;

3) .

2.7. Производная функции в точке М(1; 1) в направлении вектора (6; 8) равна:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2.8. Градиент функции в точке М(2; 1; 1) равен:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

2.9. Имеет ли функция экстремум и, если да, то какой и в какой точке:

1) max; (1; 1); 3) max; (0; 0);

2) min; (1; 1); 4) min; (0; 0).

2.10. ; ; . Функция z в точке :

1) Имеет min; 3) Не имеет экстремума;

2) Имеет max; 4) Неясно.